基于MATLAB仿真的时域信号的研究

摘要 分析时域信号有三种不同的方法，短时傅立叶变换，小波变换和Wigner—ville分布进行调频信号分析。小波变换在时域信号的分析领域具有典型的特点。本文通过理论比较了前两种不同的方法和仿真了两种变换的中心频率参数与时、频的关系。因此，通过改变小波中心频率参数，我们能更加方便的改变其时频域分辨率以适应不同的具体情况。

关键词 跳频 仿真 频率估计 短时傅立叶变换 小波分析

由于具有变化频率，速度快、精度高、灵活、易于扩充等优点，跳频信号具有广泛的应用性，尤其是在现代军事通信中，电子对抗，跳频通信具有较强的抗检测、抗干扰能力，是非常重要的，因此分析跳频信号时域信号分析的难点，而时频分析是处理非平稳信号的一种有效的方法，近些年来在理论上取得重大的进展，时频分析方法又可以分为线形和非线形时频两类 ，其中小波变换和短时傅立叶变换属于线形；Wigner—Ville分布属于非线形时频 [12]。

这些方法中，有的需要知道跳频参数，有的适用范围受限，因此需要针对具体情况选用合适的检测方法。传统的快速傅立叶变换是频谱分析中最常见的方法，它通过将信号变换到频域来分析频率分量。短时傅立叶的缺点是只要信号的采样率确定，窗函数选定，频谱的分辨率就固定了，而且如果有多个频谱分量，则不能在时域上加以分别，所以它不是一种动态的方法。而小波变换作为一种新兴的数学工具，在时频域具有灵活的处理能力[10—11]，很好的解决了上述问题，所以在跳频信号的频率参数估计方面得到了越来越多的关注。本文重点就短时傅立叶变换原理和小波变换用于跳频频点的估计原理做了简要介绍，并对两种分析方法进行了仿真比较。

1 短时傅立叶变换原理（STFT）

1.1 傅立叶变换（FT）

1.2 短时傅立叶变换（STFT）

为了克服傅立叶变换（FT）的缺陷，短时傅立叶变换（STFT）是研究非平稳信号最广泛使用的方法。假定我们听一段持续1小时的音乐，在开始时有小提琴，而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析这个1小时的音乐，能量频谱将表明对应于小提琴和鼓的频率的峰值。能量频谱会告诉我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏的任何提示。最简单的做法是把这1小时划分成每5分钟一个间隔，并用傅立叶变换分析每一个间隔。在分析每一个间隔时，就会看到，小提琴和鼓出现在哪个5分钟间隔。这就是短时傅立叶变换（STFT）的基本思想：把信号划分成许多小的时间间隔，再用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定在那个时间间隔存在的频率。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是怎样变化的。

因此，通过一个窗口来观察信号，就引出了STFT。给定一个时间宽度很短的窗函数r（t），令窗滑动，则信号x（t'）的STFT定义为：

（3）

就是说信号x（t'）在时间t的STFT就是信号x（t'）乘上一个以t为中心的“分析窗”r*（t'—t）所做的傅立叶变换，等价于取出信号在t'=t附近的一个切片，故是x（t'）在分析时间t附近的局部频谱。

1.3 STFT窗函数窗口宽度的选择

要想获得高的时间分辨率，则选短窗r*（t）；要想获得高的频率分辨率，则选长窗r*（t）若以Δt表示时间分辨率，Δf表示频率分辨率，则两者乘积满足Heisenberg不等式：

这意味着既有任意小的时间间隔又有任意小的带宽的窗函数不存在。幸运的是高斯窗函数为Heisenberg不等式取等号意义下的最优窗函数：

总之，取窗函数的大体原则：窗的宽度应该与信号的局部平稳长度相适应。

1.4 基于STFT的信号重构和STFT的缺陷

亦即：

这一关系指明了如何从其STFT恢复或综合信号x（t'）。因STFT的时—频窗口大小固定不变，是一个放大倍数固定的显微镜，只适合分析所有特征尺度大致相同的各种各种过程，窗口没有自适应性，不适合分析多尺度信号过程和突变过程。下面我们需要分析另一种方法，小波分析。

2 小波分析估计跳频频率原理

2.1 小波变换定义

2.2 Morlet小波变换

对信号进行小波变换就相当于信号通过了多个中心频率，带宽不同的带通滤波器[9]，因此，信号与不同小波函数进行变换的效果是不同的。本文采用Morlet小波来作为信号分析的母小波。它的时域与频率形式如表1：

由表1可知，Morlet母小波的时间窗口中心为ω=ω0=2πf0，频率窗口中心为，其对应的小波函数为： （14）

因此，用Morlet小波对跳频信号进行小波变换的表达式是：

（15）

2.3 信号频率与小波时频域有效宽度的关系

设Morlet母小波ψ（t）的时间有效宽度为Dt（常数），频率有效宽度为Dω（常数），则其对应的小波函数ψa，b（t）的中心为b+at0，有效宽度为Dst=aDt，a，b（ω）的中心为ωc=，有效宽度为Dsf=。 根据小波函数的恒Q性[10]，可定义常数c和d：

我们知道，小波函数的时间有效宽度Dst决定着不同频率信号进行小波变换后在时域上的扩展，Dst越小，小波变换结果的时间分辨率越高；同理，小波函数的频率有效宽度Dsf决定着不同频率信号进行小波变换后在频域上的扩展，Dsf越小，小波变换结果的频率分辨率越高。但是Dst和Dsf是相互矛盾的，所以必须根据具体信号来选择合适的时间或频率有效宽度。

不同的小波中心频率ω0对Dst和Dsf有直接作用。设信号的角频率为：

由于Dω，Dt是常数，所以对于同一个频率的信号，Morlet小波的中心频率与小波的频率有效宽度成反比，与时域有效宽度成正比。因此，通过改变小波的中心频率，可以更加方便的调整小波变换的时频域分辨率。