有形状的数

奇妙的大自然中处处蕴藏着规律：天体的运行，四季的变化，机械的操作，江河的流动等等，都可以用一些数学知识表示出来。今天我们就看看能从基本的正多边形中发现哪些规律吧！

古希腊数学家毕达哥拉斯曾说万物皆数。他不仅知道奇数、偶数、质数、合数，还把自然数分成亲和数、完全数等等。有一天，他独自一人在沙滩上玩小石子，摆着摆着发现不同数目的石子能够摆成不同的几何图形……

聪明的毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能被摆成三角形，于是他就把这些数叫作三角形数。

当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能被摆成正方形，这些数就叫正方形数。

同样，当小石子的数目是1、5、12、 22等数时，小石子都能被摆成正五边形，这些数就叫五边形数……

就这样，抽象的自然数就有了生动的形象。毕达哥拉斯借助生动的几何直观，很快就发现了自然数的一个规律：

从1开始的连续自然数和都是三角形数。

如果用字母表示最后一个加数，那么1+2+…+n的和就是一个三角形数，而且正好是第n个三角形数。不过，毕达哥拉斯并不因此而满足，要求第个三角形数，需要一个一个地加，这样太麻烦。经过进一步的总结，他又发现：

。有了它，计算连续自然数的和可就方便多了。

例如，要计算一堆罐头盒的数目，用不着一一去数，只要知道它有多少层就行了。如果它有10层，用10代换公式中的 ，就能算出这堆罐头盒的数目。正方形数又叫完全平方数。从1开始，连续的奇数之和就是完全平方数。你发现了吗？举例验证验证吧！

第n个正方形数等于n2；第n个五边形数等于；

第n个六边形数等于n（2n-1）……

继续做下去，还可以发现很多多边形数。

你能不能自己找找七边形数的规律呢？

数形结合，简单的小石子居然与奇妙的数学相联系！让我们做做小练习吧！

（1）第20个三角形数是（ ），第50个三角形数是（ ），第1OO个三角形数是（ ）。

（2）第7个正方形数是（ ），第15个正方形数是（ ）。

（3）第5个五边形数是（ ），第55个五边形数是（ ）。