数学例题教学需要“再创作”

摘要：教材中的例题大都是为了说明教材中的知识点而设置的，方法单一，并且是直接呈现给学生的. 教师如果对教材照本宣科，既使学生感到枯燥无味，又抹杀了例题中隐含的丰富的数学思想，失去锻炼与提高学生思维能力的机会. 因此教师应积极探索与研究，根据不同的内容、目标以及学生的实际情况，对例题进行加工、改编、补充和完善，进行“再创作”.

关键词：教学反思；一题多解；变式教学；再创作；引导教学

问题提出

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2－1P69的例4为：

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

这是一道有关抛物线简单几何性质的一道常规题，也是一道关于抛物线焦点弦性质的问题. 这种类型是历届高考和模拟考试的热点，是优化学生认知结构很好的素材. 书本上介绍了这道题的一种常用解法，由于在此之前，学生已经初步掌握了直线与圆锥曲线位置关系问题的基本处理方法和韦达定理，加之前一天晚上学生也问过类似于该题的有关抛物线焦点弦问题，这使本人感觉到有必要对此题进行“再创造”.

课堂实录

在上课前，我收集了有关抛物线焦点弦的一些几何性质，在学习了抛物线的简单几何性质后，给出了例4的简单变式题：

倾斜角为45°的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

师生之间进行一系列的互动.

教师：解析几何的本质是用代数方法解决几何问题，几何问题是形的问题，因此，在拿到一道解析几何题时第一反应就是作出图形.

（教师在黑板上作简图，并要求学生在草稿纸上作，边作边问抛物线的焦点坐标、准线方程，教师和学生作完图后，此时教师请一位学生回答此题的解法）

学生1（班里的数学科代表，数学基础好，不假思索地回答）：

由已知可得直线l的方程为y=x－1，将其代入抛物线方程y2=4x，并消去y得x2－6x+1=0.

求出两点坐标，然后利用两点间的距离公式可解决.

（教师板演学生的回答，该学生在教师写到x2－6x+1=0时）

学生1：不求两点坐标了，这样太麻烦，利用抛物线的焦半径公式，设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2. 又x1，x2是方程x2－6x+1=0的两根，故x1+x2=6.

因此，可求得AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.

（教师对这位学生的回答大加赞赏，指出该学生能把握直线与抛物线位置关系的基本处理方式，并能运用数形结合思想和方程思想使问题的解决变得简洁）

教师：当问题处理到方程x2－6x+1=0时，还有什么办法可以求出弦AB的长度？

学生2：运用韦达定理，由弦长公式AB=x1-x2=•可得.

（弦长公式部分学生不是太熟悉，教师作了简单介绍，指出弦长公式的本质就是两点间的距离公式，使学生感受到数学知识间的联系，并作出小结）

教师：前面同学们用了三种方法. 第一种方法直接求出了两点的坐标，用两点间的距离公式；后两种方法在得到方程之后，都没有求出两点的坐标，第二种方法是利用抛物线的定义，结合焦半径公式求出弦长；第三种方法是利用弦长公式，这两种方法共同的特征是设而不求. 联系“设而不求”的解题特征，想想本题还有什么解法？

（学生思考片刻，就有提到“设而不求点差法”，教师随即指定一位学生回答，同时板演了学生的过程）

学生3：由前面可知AB=AF+BF=x1+1+x2+1=x1+x2+2，

而y=4x1，y=4x2，两式相减得（y1－y2）（y1+y2）=4（x1－x2）.

因直线l的斜率为1，故有y1+y2=4.

又y1=x1－1，y2=x2－1，所以x1+x2=6，以下同上.

（教师肯定了学生的回答）

教师：在解决本题的过程中，我们发现这个图形中有很多几何元素，如有直角梯形ABB′A′，倾斜角45°等，我们能不能从纯几何角度解决这一问题？

（学生在教师的指导下互相讨论，大约一分钟左右，教师选择部分学生代表回答，下面是其中一位学生的解法）

学生4：过B点作BC垂直于x轴于C，过F作FD垂直于AA′于D.

根据抛物线的定义可知

BF=B′B=2－BFcos45°，AF=A′A=2+AFcos45°，

所以BF=，AF=.

所以AB=AF+BF=8.

教师：在例题中，直线和抛物线都是已知的，并且是特殊的，求的是过焦点的弦长，能不能对题目进行变形，再作解决？

（教师在课堂上作如下引导，变题常见的两种方案为变题设条件或变求解结论，学生经过一番讨论之后，提出了许多想法，教师选了几个有代表性想法的学生发言）

学生5：将题设条件的特殊情况改为一般情况，即得变题1.

变题1：倾斜角为α的直线经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长.

（此题一出来，学生发现例题所采用的方法也会适用于本题，教师略加点拨，巡视教室，进行个别指导，并要求学生注意在解题过程中是否有新的结论产生. 几分钟后学生用各种方法完成了变题1，并有了一些新发现）

学生6：我选择的是利用韦达定理，将直线方程代入抛物线方程求弦长，当我将直线方程y=kx－代入抛物线方程得到方程k2x2－（k2p+2p）x+=0，计算弦长时发现x1x2=，这是一个定值.

教师：非常好，发现了焦点弦的一个重要性质，但你将直线方程设为y=kx－，就意味着直线的斜率一定会存在，这是对的吗？

学生6：可以不存在，但此时直线方程为x=，也满足x1x2=. 因此，只需将这个问题分成两种情形讨论即可.

学生7：我也是跟这位同学一样，选择用韦达定理和抛物线的定义求弦长公式，但直线方程我不是这样设的，而是设为my=x－.

教师（打断学生的话）：为什么可以这样设？你最后得出的结论是什么？

学生7：因为这条直线要与抛物线有两个交点，显然斜率不可以为0，但可能不存在，故可这样设. 代入抛物线方程之后，我得到了y1y2=－p2.

教师：刚才两位同学在求弦长的过程中，发现了抛物线焦点弦的两个性质，因此我们可以将本题改成另外一题. （师生共同回答）：

倾斜角为α的直线经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，与抛物线相交于A，B. 设A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2和y1y2都是定值.

但要求出AB的弦长，还需要继续计算，将k，m用α代替，计算量还是较大的.有没有发现上述四种方法中哪一种方法最简单，在解题过程中又有什么发现？

学生8：用几何法计算弦长最方便，类似于例题的求法，我们可以得到BF=，AF=.

所以AB=BF+AF=.

教师：采用其他方法也能够求出AB=，由这个弦长公式，我们能知道什么时候AB最短吗？

学生（齐答）：当α=90°时，|AB|最短，最小值为2p.

教师：当α=90°时，AB=2p称为抛物线y2=2px（p>0）的通径. 但不知同学们有没有从这种方法中，得出什么结论？

学生9：+=.

（全班愕然，此时下课铃声即将要响，教师进行如下小结）

本节课我们针对例4谈了4种解法，并要求同学们对例题进行改编，结果在同学们解决问题的过程中得出新结论.

变题2：倾斜角为α的直线经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，与抛物线相交于A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2），求证：

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（1）x1x2和y1y2都是定值；

（2）+=.

当然，可能同学们是采用不同的方法得出相应的结论，但每一个结论却可以由不同方法进行证明的，课后请同学们用其他方法证明上述的结论. 抛物线焦点弦的性质很多，同学们可以结合手头上的资料或上网去查阅关于抛物线焦点弦问题的其他性质. 接着，下课铃声响了……

教学反思

1. 新课程形式下的数学课堂需要教师对例题进行“再创作”

新课程标准的课堂是活动的课堂，是师生之间讨论、合作、交流的课堂，是民主的课堂，是教师充分相信学生、依靠学生、发动学生主动探索的课堂. 教材中的例题大都是为了说明教材中的知识点而设置的，方法单一，并且是直接呈现给学生的. 教师如果对教材照本宣科，既使学生感到枯燥无味，又抹杀了例题中隐含的丰富的数学思想，失去锻炼与提高学生思维能力的机会. 因此教师应积极探索与研究，根据不同的内容、目标以及学生的实际情况，对例题进行加工、改编、补充和完善，进行“再创作”. 对例题的“再创作”，笔者以为可以选择以下两种常见的方式：

（1）对例题的解法进行发散，即“一题多解”.

教材中每道例题的解法都会蕴涵这一类问题的通性和通法，但有时也会有一些简单的解题技巧. 上文例题的一题多解不仅介绍了解决直线与圆锥曲线问题的通法――函数与方程思想和点差法，同时也介绍了几何法（事实上这是极坐标的思想）. 这种方式不仅赋予学生更多的数学思想方法，也发散学生更多的数学思维空间，提高学生分析问题和解决问题的能力.

（2）对例题进行改编、变式，即“变式教学”.

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.” 波利亚说的就是变式教学，它是例题教学中普遍采用的一种教学模式. 变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面. 如前文案例中对例题的拓展，还可以变换得到如下几个问题.

变题3：已知一直线与抛物线y2=2px（p>0）相交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2=－p2，求证：直线经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点.

变题4：已知经过定点（a，0）的直线与抛物线y2=2px（p>0）相交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2），求证：y1y2是一个定值.

像这种一题多用、多题重组的变式教学，常给人以新鲜感觉，能够唤起学生好奇心和求知欲. 因而学生能够产生主动参与的动力，保持参与教学活动的兴趣和热情，不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时学会比较全面地看问题. 注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性.

同样是变式教学，在教学模式上又有所讲究. 我们平常运用的变式教学，就是指教师有计划地对命题进行合理的转化. 在这一过程中，教师教学预设的多，学生在学习过程中生成的少，学生对问题间的联系和问题的产生过程并不十分清楚. 因此，前文案例中的变题1的教学，在教学模式上做了大胆的改革，采用的是“说题”教学模式，它是变式教学的一种. 说题，学生变老师，老师变学生，由说题者面向全班同学进行说题. 说不上的地方，教师启发，说错的地方由大家讨论更正，要求学习者把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，也可说问题的来源背景和拓展延伸. 本节课学生说的就是问题的拓展延伸，而问题的来源背景则应该是变题1. 在这个过程中，学生充分运用了自己对教材知识自主建构的权利，对教材的内容有了自己的理解，教师和学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感，学生成为课堂的主体，教师为主导.

2. 新课程形式下的学生学习方式需要教师对例题“再创作”

学生的学习方式一般有接受式和发现式两种. 在接受学习中，学生是知识的接受者，在发现学习中，学习内容是以问题形式间接呈现出来的，学生是知识的发现者. 两种学习都有其存在的价值，彼此是相辅相成的关系. 但是，传统学习方式过分突出和强调接受与掌握，冷落和忽视发现与探索，这种学习方式窒息了思维和智力，摧残人的学习兴趣和热情. 本文案例中采用的“一题多解”教学和“说题”教学，则是以问题的形式出现，让学生去发现与探索，鼓励学生对书本的质疑和对教师的超越，赞赏学生独特性和富有个性化的理解和表达，有利于培养创新意识和创新思维.

3. 教师对例题“再创作”有利于提高自身的教研水平

现代教师不仅要具有丰富的专业知识，而且还要具备教育教学的工作能力. 本节课采用的“一题多解”和“说题”教学活动，是师生互动，双边发展的教学活动，它不仅有利于训练学生的胆量，提高学生的数学表达能力，培养学生的创新意识和创新思维. 同时，让学生参与知识的产生过程，难免会在课堂出现一些“教学意外”，这就要求教师在课前需要自己对例题进行多角度、多层次的剖析，有时也要查阅大量的数学资料，以应付课堂上的“教学意外”，这有利于提高教师的教育教学能力和教研水平.

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