圆台间流体流动的数值模拟

【摘 要】同轴旋转圆台间流体流动在化学工程和流体力学中有着重要的研究意义。本文对同轴旋转圆台间流体的运动做了数值模拟，重点研究了流体的压力和流速等相关性质。将模拟的数值结果进行处理，画出流体压力和流速关于旋转轴Z轴的关系图。结果表明：在低雷诺数时，内圆台旋转、外圆台固定，流体的流动状态是稳定的层流；当内、外圆台同向或者异向旋转时，只要保持低雷诺数，流体就也仍是稳定的层流；并且当内外圆台同向旋转时，压力和速度的值变化斜率较大，外圆台固定时的压力和速度的值变化斜率较小。

【关键词】同轴旋转圆台；雷诺数

1.前言

旋转流体运动是流体力学中一个重要的研究课题， 其中的两旋转柱体间隙区域上的流动问题在军事方面、能源与动力工程方面等方面有着广泛的应用。拉格朗日-欧拉方法（以下简写LE）是流体力学领域中比较常用的计算方法。LE方法中使用的是多边形网格，是通过将整个求解区域按Voronoi规则划分得到的，这种划分流场的方式可确保流动单元在流场中沿流线做连续、平滑的运动。在流动发生一段时间之后，各流动单元及其相邻点的位置发生变化，还要按该规则重新划分流场。LE方法在构造差分格式时，流动单元的应变率、应力和压力都定义在多边形的中心，而速度分别定义在多边形的中心和顶点上。

在使用L-E方法时，可以对其中流动网格的生成和边界条件的处理等内容做了进一步改进，使之能够处理各种复杂边界条件下流体的流动问题。

2.数值模拟圆台间流体流动

2.1基本数学模型

考虑一个同轴旋转圆台，圆台中充满不可压缩流体，内、外圆台均以一定的角速度旋转。当t=0时，流体由顶面入口处流入，入口和出口是自由面。流体满足N-S方程：，其中 分别表示流体的速度、密度、压力和运动学粘性系数。边界条件为：，，， ， 其中∑1、∑2、 ∑top和∑base分别表示内、外圆台的壁面，圆台装置的顶部和底部表面。

用计算机软件模拟出圆台间的流体后，将数据文件导入到处理器中，然后沿着旋转轴Z轴截面取值，从而得到每一个Z轴值所对应的速度和压力值：

，其中分别为zi面上三个方向的速度矢量值，Pij为zi面上的压力值， n表示在zi面上总共取到的点的数目。

2.2画出圆台网格

本文中对旋转液膜反应器进行模拟，先建立一个外圆台，然后再建立一个同轴的内圆台作为转子。模型尺寸按照真实旋转液膜反应器的尺寸进行构建。

在对指定的问题进行圆台流体模拟之前，首先将要计算的区域离散化，即把空间商连续的区域划分成许多个子区域，并确定每个子区域中的节点位置及该节点所代表的控制容积，从而生成网格。

2.3模拟条件的设定

（1）根据雷诺数公式算出在固定Re值下的转子的转速。上部为流体入口，下部为出口，外部圆台在不同的情况下设为不同的边界条件。在低雷诺数时，采用层流模型。

（2）临界流量的概念 ：一定间隙与转子转速条件下的这一固定的流体加入速度为临界流量。在一定的间隙和转速情况下，流体只能以某一固定的流速加入到反应器中间，由于反应器上部的入口处是一个开放的体系，与大气相通，因此当流体的加入速度小于这一固定流量时，旋转液膜反应器的反应空间中会被带入大量的空气，导致圆台内部的流体不再为单一流体，使研究的流体运动不准确；而当流体的加入速度大于此值时，流体会从反应器的入口处溢流出反应器外界。在本次模拟中，将初始速度设为0.015m/s.

（3）计算区域网格化以后，用有限数目的离散点的值来表示连续的计算域，微分方程即可以转化为代数方程组。本文数值模拟采用有限体积法、分离式稳态算法对控制方程进行离散，它在每个控制容积中对控制方程进行积分，导出离散方程，采用二阶迎风格式进行离散。将控制方程离散变为代数方程后，即可开始求解。

3. 实验结果

本次模拟均是低雷诺数条件下，对圆台间流体流动进行的数值模拟计算。内圆台到外圆台之间的流动非常规则和均匀，同时侧面的流动亦是如此，由此我们可以断定在Re=50时，流动是稳定的层流。

3.1内、外圆台同向旋转

根据基本模型： 。当内、外圆台同向旋转时，雷诺数为：。如同2.3的模拟计算流程，其中外圆台的雷诺数设置的数值是100，内圆台设置的数值是50，因此这次模拟的雷诺数值是50。下面是所得到的结果图：

左图是内圆台的速度等值线，右图是外圆台的速度等值线。从图中可以看出：内圆台的速度等值线整体小于外圆台的值。

下面再来研究压力、速度和Z轴的关系。

从图中可以看出：在内、外圆台同向旋转的情况下，压力和速度与Z轴的近似线性关系仍是很好。与内圆台旋转、外圆台固定情况不同的是，速度和压力的值都有所增大。虽然两种情况的整体雷诺数值是相同的，但是在外圆台也旋转情况下，流体的速度和压力的值都改变了，值变大了。

3.2内、外圆台异向旋转

根据基本数学模型：。当内、外圆台异向旋转时，雷诺数为： 。其中外圆台的雷诺数设置的数值是50，内圆台设置的数值是50，因此这次模拟的雷诺数值是100。

当内、外圆筒异向旋转时，存在一个区域，在该区域内流体的流动状态是稳定的层流。对于圆台装置，经过模拟分析，我们发现在低雷诺数时，圆台间的流体的流动状态也是稳定的层流。

经由处理得到的压力、速度和Z轴关系图如下：

3.3三种模拟情况的对比

我们将上述两种模拟结果与“内圆台旋转，外圆台固定”的情况作对比。

从上图可以看出：三种情况下的速度递减斜率几乎相同。压力的递减斜率变化则比较大。

3.4展望

我们已经知道流体的临界流量对流体流动模拟的重要性，因此可以研究圆台入口给出流体的入口速度。雷诺数Re、圆台半径R1、R2的关系，可以经过一定数量的数值模拟，得到流速与以上几个参数的无量纲化后给出。这对现实的实验研究有着很重要的应用意义。

4.结论

通过对同轴旋转圆台间流体的运动做数值模拟，将模拟的数值结果进行处理后，画出流体压力和流速等关于旋转轴Z轴的关系图。结果表明：在低雷诺数时，内圆台旋转、外圆台固定，流体的流动状态是稳定的层流；当内、外圆台同向或者异向旋转时，只要保持低雷诺数，流体就也仍是稳定的层流；并且当内外圆台同向旋转时，压力和速度的值变化斜率较大，外圆台固定时的压力和速度的值变化斜率较小。

参考文献：

[1]Arne Schulz， Gerd Pfister. Bifurcation and structure of flow between counter-roating cylinders. Institute of Experimental and Applied Physics[J].

[2]郭盛昌.旋转液膜反应器对沉淀反应的强化作用研究[D].北京：北京化工大学，2009.

[3]王贺元，李开泰.Couette-Taylor流的谱Galerkin逼近[J].应用数学和力学，2004，10（25）：1083-1092.

作者简介：

廖益文（1988-），男，吉林大学珠海学院数学教师，北京化工大学应用数学专业硕士，主要研究方向是金融数学。