另辟蹊径巧解参数范围问题

参数范围的求解在高考中往往作为压轴题来出现，很多学生对此类问题都“望而生畏”，不敢去啃，其实这类问题越来越受到高考出题人的青睐，不但是高考中的热点而且是难点.学生在平时做练习时习惯用常规方法，如等价转化法、参数分离法等.笔者通过在教学实践中深入研究历年高考真题，总结出一些对解决参数范围问题行之有效的非常规的方法.文中不当之处，请各位同仁批评指正.下面我结合具体实例来阐述我总结出的方法.

一、数形结合、等价转化

例 设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围.

这道题是学生经常做的不等式恒成立问题的类型，解决这类问题的常规思路是“分离变量法”，很多学生都会按照下面“分离变量法”的思路进行求解.

解 （1）当x=0时，a≠R；

（2）当x≠0时，根据题意得知，问题可化为：

（1+x）ln（1+x）x≥a在（0，+∞）上恒成立.

令g（x）=[ln（1+x+1）]x-（1+x）ln（1+x）x2，则a≤[g（x）]min.

g′x=x-ln（1+x）x2，

又易知，当x>0时，ln（1+x）

g′x>0在（0，+∞）上恒成立，

gx在（0，+∞）上单调递增，但x∈（0，+∞），gx没有最小值.大家可以看出这种解法已经失效了.

所以会有同学不明白，为什么原来这类的题可以这样求解，为什么该题不行了呢？有的同学通过一遍遍地检查错误，有的打算放弃，其实，对于这样的困境，不必乱了方寸，静下心来，重新审题.

首先，对于计算错误的怀疑是有必要的，但经确认无误后，那么问题出在哪了呢？既然常规的分离变量不可行，那就另辟蹊径，另寻办法了.

思路1 通过观察我们发现，不等式f（x）≥ax的两边都有明显的几何特征，所以我们不妨考虑用数形结合的思想来寻求突破.数形结合法往往更直观、更明了，这是我推荐的首选的解题策略.

分析 若令y=ax，则y=ax的图像是一条直线，过坐标原点且斜率为a，而f′x=ln（1+x）+1>0在[0，+∞）上恒成立，所以fx在[0，+∞）上单调递增，故若使f（x）≥ax在0，+∞上恒成立，只需确保直线y=ax在区间0，+∞上不脱离f（x）的图像即可.到此，我们容易联想到直线与曲线相切的情况.我们看一下函数f（x）在（0，0）处的切线，其切线方程为y-0=f′0x-0，即y=x，若函数f（x）的图像在y=x上方，则要使f（x）≥ax在0，+∞上恒成立，只需要直线y=ax不在切线y=x的上方即可.亦即ax≤x在0，+∞上恒成立，从而易知a≤1.然后只需证明函数f（x）的图像在切线y=x的上方，也就是证明f（x）≥x在0，+∞上恒成立即可，这就很容易证明了.

解题过程参考：

f（x）=（1+x）ln（1+x）在0，0处的切线l的方程为y=f0=f′0x-0，即y=x，

构造函数px=（1+x）ln（1+x）-x，则p′x=ln（1+x）+1-1=ln（1+x）≥0在0，+∞上恒成立，

px在0，+∞上单调递增，px≥p0=0，也就是1+xln1+x≥x在0，+∞上恒成立.又fx≥ax在0，+∞上恒成立，只需要x≥ax在0，+∞上恒成立，从而a≤1.

值得注意的是，在2007，2008年连续两年的高考题中，均出现了此类题型，高考的这个指挥棒给我们一个重要的暗示——要重视参数范围求解的问题，并且常规方法往往不那么管用.所以，我们应该多研究高考题，琢磨出题人的思想.

思路2 分析 原问题可等价化为不等式（x+1）lnx+1-ax≥0对一切的x≥0恒成立，求a的范围.

解题过程参考：令Fx=1+xln1+x-ax，因不等式x+1lnx+1-ax≥0对一切的x≥0恒成立，则只需保证函数Fx在0，+∞上的最小值Fxmin≥0即可.

又因为F′x=lnx+1+1-a，所以

①当a≤1时，F′x≥0在0，+∞上恒成立，Fx在0，+∞上递增.又Fx≥F0=0，fx≥ax在0，+∞上恒成立，故a≤1能满足题意.

②当a>1时，令F′x=0得x=ea-1-1，当ea-1-1>x≥0时，F′xea-1-1时，F′x>0，Fx在0，ea-1-1上单调递减，从而当x∈0，ea-1-1时，Fx

二、多次求导

例 （2010年全国新课标卷第21题）设函数fx=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0时，求fx的单调区间；

（2）若当x≥0时，fx≥0，求a的取值范围.

解答 （1）略.（2）fx=ex-1-x-ax2，f′=ex-1-2ax，f″=ex-2a，由于x≥0，故ex≥1.

①当a≤12时，f″（x）≥0，故f′在[0，+∞]上单调递增，f′（x）≥f′（0）=0，于是f′在[0，+∞]上单调递增，fx≥f0=0.

②当a>12时，由f″（x）=0，得x=ln2a.当x∈（0，ln2a）时，f″（x）

上单调递减，即fx

综上可得a的取值范围为-∞，12.

点评 解决本题的关键在于多审题，认真思考题目的意图，然后灵活运用多次求导，观察函数和导函数之间的关系.发现关键之后就很容易解决这个问题.

三、取特例法

例 （2011年湖北文科卷）设函数f′=x3-2ax2+bx=a，gx=x2-3x+2，其中x∈R，a，b为常数，一曲线y=fx与y=gx在点（2，0）处有相同的切线l.

（1）求a，b的值，并写出切线l的方程；

（2）若方程fx+gx=mx有三个互不相同的实根0，x1，x2，其中x1

解 （1）f′（x）=3x2+4ax+b，g′（x）=2x-3，由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g′（2）=1，由此解得a=-2，b=5，故切线l的方程：y=x-2.

（2）由（1）得f（x）+g（x）=x3-3x2+2x，依题意得方程x（x2-3x+2-m）=0有三个不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2-3x+2-m的两个相异实根，所以Δ=9-4（2-m）>0m>14.又对任意的x∈x1，x，f（x）+g（x）0，对任意x∈x1，x，有x-x2≤0，x-x1≥0，x>0，则f（x）+g（x）-mx=x（x-x1）（x-x2）≤0.又f（x1）+g（x2）-mx1=0，所以函数在x∈[x1，x]上的最大值为0，于是当m

综上可得m的取值范围是（-14，0）.

点评 本题重点是特例的运用，x=x1运用特例，从而缩小了m的取值范围，然后利用所学知识就可以对这个问题迎刃而解.

四、求导变形

例 （2010年高考宁夏海南卷第21题）设函数f（x）=x（ex-1）-ax2.

（1）若a=12，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

分析 对于本题的第（2）小题，许多学生首先想到的是“分离参数”，因为这里的参数a很容易分离的，但分离后的函数y=ex-1x在（0，+∞）上的最小值却难以求解，即使能求出该函数在（0，+∞）上是增函数，也无法利用中学所学知识求其最值或者值域，此时，对f（x）=x（ex-1-ax），由于x≥0，只要g（x）=ex-1-ax>0在（0，+∞）上恒成立即可.此时g′（x）=ex-a.当a≤1时，g′（x）>0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，即g（x）>g（0）=0，符合题意；而当a>1时，由ex-a

五、极限思想法

例 （2009年陕西高考题）已知函数f（x）=ln（ax+1）+1-x1+x，x≥0，其中a>0.

（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围.

分析与解答 （1）（2）略.

（3）f（x）的最小值为1f（x）≥1恒成立，根据f（x）≥1，可得：e2x1+x-1≤ax.①

当x=0时，对一切a∈R，①式恒成立；

当x>0时，①式变成a≥e2x1+x-1x，令g（x）=e2x1+x-1x，

那么，g′（x）=1-1+x2（1+x）2·e2x1+xx2.

令h（x）=1-1+x2（1+x）2·e2x1+x，则h′（x）=-4x2e2x1+x（1+x）4

即h（x）在0，+∞上单调递减，因此h（x）

0，+∞上单调递减.从而，g（x）

a≥e2x1+x-1x恒成立a≥limx0+e2x1+xx-1.令φ（x）=e2x1+x，则

limx0+e2x1+x-1x=limx0+φ（x）-φ（0）x-0=φ′（0）=2（1+x）2e2x1+xx=0=2.

因此a的取值范围为a≥2.

点评 本题（3）解答的精彩之处在于“a≥g（x）恒成立”“a≥limx0+g（x）”.因为g（x）在x=0处无定义，所以这里不可能通过求最大值的方法来得到a的取值范围，而用极限思想的无限逼近策略，再通过导数来求出g（x）的上确界，这样方可巧解这道难题.实际上，2006年全国Ⅰ卷（理科）21题，2007年全国Ⅰ卷（理科）20题都可用参数分离、极限思想的原理这两种方法来解决.

总结：以上所阐述的求解策略都是从某个侧面来分析探讨了运用的方法，但这些方法绝不是孤立无关的，在具体的解题实践中，往往可以用多种方法来解决.正所谓“解题有法，但无定法”，笔者相信只要认清解题方法的优缺点，亲历足够多的解题过程冲突，解题策略的优化，解题方法的变化，学生在解题时就能灵活运用各种方法.

【参考文献】

[1]程贤清，景亚晓，徐小艳.破解不等式恒成立问题的十大策略.中学数学，2011（6）.

[2]陈世明.当常规解法失效时.数学通讯，2010（3）.