浅谈“判别式法”求函数值域

时间:2022-08-01 05:55:37

浅谈“判别式法”求函数值域

形如y=■(a1、a2不同时为0,x∈D)的函数,其值域的求解可利用“判别式法”。即将原函数转化为关于x的方程(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+c2y-c1=0,根据原函数在x∈D内有意义等价于方程在x∈D内有实根的原则,求出y的取值范围:(1)若a2y-a1=0时,方程在x∈D内有实根,则y=■;(2)若a2y-a1≠0时,方程在x∈D有实根,则利用判别式,结合方程根的情况求出y。

例1:求函数y=■的值域。

解:原函数变形为关于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函数定域为R。上述方程在x∈R内有实根。

(1)当y-2=0时,方程化为13=0在x∈R内无实根,不合题意,故y≠2;

(2)当y-2≠0时, 上述方程为一元二次方程, 要使该方程在x∈R内有实根, 必须满足?驻=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≥0,解得-■≤y≤2。

综合(1)(2),得原函数的值域为[-■,2)。

例2:求函数y=■的值域。

解:原函数变形为关于x的方程得:(y-2)x2+x-y-7=0。又原函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有实根。

(1)若y-2=0,方程化为x-3=0,其在上述区间内有实根,此时y=2;

(2)若y-2≠0,方程为一元二次方程,要使其在上述区间内有实根只须?驻=1+4(y-2)(y+1)≥0,y-2+1-y-1≠0,-2-1-y-1≠0,解得y≤■或y≥■。

综合(1)(2),得原函数值域为(-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3:已知x>■,求函数f(x)=■的值域。

解:原函数变形为关于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函数定义域为(■,+∞),上述方程在(■,+∞)上有根,则?驻≥0,(x1-■)(x2-■)≥0,x1+x2>5,或?驻≥0,(x1-■)(x2-■)

即(2y+4)2-4(5+4y)≥0,5+4y-■(2y+4)+■≥0,2y+4≥5,

或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■<0,

解得y≥1。原函数的值域为[1,+∞)。

例4:已知函数f(x) =log3■的定义域为R,值域为(0 , 2), 求m、n的值。

解:f(x) 的值域为(0,2),■∈[1,9],设y=■, 则1≤y≤9, 化为关于x的方程为(y-m)x2-8x-y-n=0,由函数定义域为R知,上述方程在R内有实根。

(1)若y-m=0,则上述方程化为一元一次方程8x+m-n=0在R内有实根,此时y=m,又1≤y≤9,所以1≤m≤9。

(2)若y-m≠0,上述方程为一元二次方程,要使其在R内有实根,则?驻=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0,即y2-(m+n)y+(mn-16)≤0。由1≤y≤9 知,关于y的一元二次方程y2-(m+n)y+(mn-16)=0的两根为1和9。由韦达定理得m+n=1+9,mn-16=1×9,解得■

综合(1)(2),得m=n=5。

注意:(1)“判别式法”的解题思想是:函数在D内有意义等价于方程在D内有实根。(2)用判别式之前,必须先考虑x2的系数是否为0。(3)一元二次方程在D内有实根:若D=R,则只须?驻≥0;若D≠R,则除了?驻≥0外,还须考虑实根在D内的具体分布情况。

(责编 张晶晶)

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