数学课堂教学应关注的四个核心问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“课程基本理念”中指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”这实质上是向广大数学教师提出的宏观教学要求.人们不禁要问，在数学课堂教学中应重点关注哪些核心要素，才能符合这一要求？笔者认为在数学课堂教学中教师应关注的问题很多，但下面四个问题是最重要的：

1激发学生的学习兴趣

古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”兴趣是学习的原动力、是学习的催化剂，它对学生的学习有着神奇的内驱动作用，能变无效为有效，化低效为高效.可见，数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.

学生原本对客观世界就有浓厚的好奇心，数学教学应该努力把学生的这种好奇心引导到探索事物的数量关系上来，把这种好奇心转化为学习数学的兴趣上来.关于激发学习兴趣的话题是一个古老但又“长青”的问题.许多心理学家、教育专家、教学名师等对此都有自己的见解，提出了很多激发学习兴趣有效的方法.

例如，可以通过列举应用数学的实例，让学生了解数学的价值，知道数学具有广泛的应用性，与我们的日常生活、学习、工作息息相关.特别是在今天，随着信息科学技术的飞速发展，人们几乎可以把任何信息数字化，包括文字信息、行为信息、情感信息和图像信息.如网络查询、电视图像、手机信息、心理测量、身体扫描等.这样可以让学生看到数学内在的本质和自身的魅力，从而引起学生学习数学的兴趣.

笔者认为，引发兴趣最主要的在于教师的教学方法.从这个角度讲，教师要在教学设计上狠下功夫，如选择新颖有趣的学习材料，采用启发式的教学方式，创设引人入胜的教学情境，采用讲故事、做游戏的方法，带领学生解决某些带有挑战性的问题等等都是很有效的.

实践证明无论采用怎样的方法，只要能引发学生持久的乐学，课堂教学的效率就会不断得到提高.有的教师在学习列方程组解应用题前，用下面的问题作为引例来激发学生的学习兴趣：

案例1自行车轮胎报废问题.

一个自行车轮胎，若安装在前轮上，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮上，则行驶3000千米后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮，使一对新轮胎同时报废，那么最多可行驶多少千米.

学生甲：最多可行驶8000千米；

学生乙：最多可行驶4000千米.

还有很多学生无从入手.

教师要抓住时机，告诉同学们学生甲、乙的答案都不对.为什么呢？只要学习了列方程组解应用题的知识后你们就知道答案了.这样学生学习的积极性就高了，学习注意力也集中起来了，教师开始了新课的学习.

事实上，本题应该这样来解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k5000，安装在后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为k3000；又设一对新轮胎交换位置前走了x千米、交换位置后走了y千米，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得

kx5000+ky3000=k

ky5000+kx3000=k

方程组的两边相加，得k（x+y）5000+k（x+y）3000=2k，从而可得（x+y）=215000+13000=3750（千米）.

故，自行车的一对新（前后）轮胎最多可行驶3750千米便能同时报废.

事实上，成功的数学教育无不是建立在学生对数学极大的兴趣基础之上的.有兴趣的学习活动，一定会大大提高学生学习数学的效率.我们在与一些教师的座谈中，经常听到老师抱怨学生不“喜欢”数学、学习效率低的“声音”.其根源或许就是因为学生没有学习数学的兴趣，从这个角度讲学生不“喜欢”数学、学习效率低的原因在教师而不在学生.因此，教师应在研究教材与学生的基础上，对教学内容进行“二次加工”，结合具体内容创设必要的教学情境，利用有效的学习机制和教学手段，营造高效的学习氛围，彻底改变学生的学习状态，激发学生的学习欲望，实现学生由“苦学”、“厌学”到“乐学”的转变.

2引发学生进行数学思考

对于数学思考，《标准》分以下四点进行了详细的描述：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维.（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.

上述四点是数学课程在“数学思考”方面应达到的目标.前三点是从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述的，后一点是概括的阐述.它向我们指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维方式.事实上，数学思考是数学教学中最有价值的行为.

这就要求我们在数学教学中要引导学生在学会知识的过程中也要学会思考，学会思考远比学会知识本身更重要.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理，等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，能使学生终生受益.

我国历来十分重视对基础知识的教学，但存在着“重结果、轻过程”的现象，如果长期采用这种教法，学生就难以学会独立思考，无法体会到一些数学基本思想的作用，形成不了正确的思维方式.例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多老师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，但不知其所以然”.事实上，一个概念的形成往往与学生的思考、探索等活动融合在一起，密不可分.所以，在数学概念的教学中，教师一定要引导学生经历这个概念的建立过程，不可错失培养学生数学思考的良机.

图1案例2圆的有关概念的建立.

圆是生活中常见的几何图形，从集合的观点定义圆是同学们学习的一个难点，为了克服难点，我们可以设计下面的问题，引导学生进行思考、探索等活动：

画一个半径为5厘米的O，在O上任取A，B两点，连接OA，OB.

（1）OA与OB的长分别是多少？

（2）如果OC=5厘米，你能说出点C的位置吗？

（3）如果M，N是平面内的两点，且OM=7厘米，ON=3厘米，你能分别说出点M，N与圆的位置关系吗？

（4）观察图1，A，B，C三点与O具有什么样的关系？由此可知，平面内的点与圆有几种位置关系？

分别用这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系加以说明.

（5）如果我们把“圆看成是平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，那么请你用集合的语言描述圆的内部和外部：

①圆的内部是点的集合；

②圆的外部是点的集合.

学生在上述五个问题的引导下，通过对点与圆的位置关系的思考与探究，经历了圆的集合定义的形成过程，进一步增强了学生对圆的本质属性的认识.圆是点的集合，而这个集合是由平面内所有“到定点的距离等于定长”的点组成的.这里的定点就是圆心，定长就是半径.把一个集合图形看成是满足某些条件的点的集合的思想，在数学学习中十分重要.这样的导学设计能让学生初步感受这种思想，符合《标准》强化对数学思想要求的精神.

3使学生掌握恰当的学习方法

国务院总理曾就如何制定《国家中长期教育改革和发展规划纲要》时强调指出：现在，在学习中我们比较注重认知，认知是学习的一部分，就是学习.在认知方法上我们还有缺陷，主要是灌输.其实，认知应该是启发，学生学会如何学习，掌握认知的手段，而不仅在知识的本身.学生不仅要学会知识，还要学会动手，学会动脑，学会做事，学会生存，学会与别人共同生活，这是整个教育和学习改革的内容.我们知道，学习方式是指学生在完成学习任务过程中基本的行为和认知的取向，它的基本纬度是自主性、探究性和合作性.《标准》论述学习方式时指出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”

20世纪末，世界一批最优秀的科学家特别是一批诺贝尔奖获得者倡导在儿童和学校教育中开展“做中学”活动，以提高幼儿园和学生的科学教育水平，培育科学的思维方式.“做中学”是让儿童和学生参与一些“科学活动”.学生在参与这些活动的过程中不仅能获得对数学的理解，还能体会到数学的研究方法，并且在活动中不断优化自己的数学认知结构.

为了让学生主动的进行数学学习活动，并且在这个活动中使其个性得到充分的发展.教师应结合具体的教学内容创设有助于学生自主学习的问题情境，以此引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列的活动.在活动中获得数学的基础知识和基本技能，经历数学基本思想的形成过程，并且不断积累基本的数学活动经验.

案例3“垂线段最短的性质”的发现过程.

对于“垂线段最短的性质”，可以创设如下的问题情境，激发学生进行探索、发现、交流等活动.

问题1：如图2，怎样测量跳远的成绩？

图2图3

问题2：在图3中，如果要从人行横道线点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？

图4（问题1、问题2是引导学生经历观察、操作、探索的过程，引导学生运用生活经验感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.

问题3：如图4，点P在直线l外，点O1、O2、O3…在直线l上，其中POl，量出线段PO、PO1、PO2、PO3…的长度.在这些线段中，哪一条最短？

（问题3是从数学内部提出的问题，引导学生通过数学活动感知：直线外一点与直线上各点连接所得的所有线段中，垂线段最短）.

图5问题4：如图5，P是直线l外一点，POl，垂足为点O，O1、O2是l上任意两点.

（1）画出所给图形沿直线l翻折后的图形；

（2）你能说PO

（通过问题4，引导学生经历推理的过程）.

我们知道，学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的.因此，在教学中应引导学生要像“小科学家”一样通过研究活动去发现问题、提出问题、分析问题直至最后解决问题.学生在探究的过程中除了能获取知识、发展技能、形成能力外，还能受到科学价值观和科学方法的教育，并发展自己的个性.从而更好地落实《标准》提出的“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念.

4培养学生的创新意识

创新是21世纪出现频率最高的词汇，它已经普及几乎每一个领域，当然必将出现在数学教学中.杨振宁先生指出“中国学生的根基非常扎实，这是优点，但也有缺点，中国的学生面对新事物总有畏缩心理，与美国学生比起来，创新意识较差.”“创新意识”是《标准》提出的十个核心概念之一.并且进一步指出“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.”

关于创新意识的培养问题，近十余年来人们讨论的比好多，也积累了一些好的方法.例如，实施探究式的教学方法就是一例.在这种教学模式中，因为它的条件不完备、答案不确定且具有层次性，解决策略具有发散性和创新性等特征，容易使学生主动参与、主动探索，也可以让不同层次的学生在同一问题上得到不同的发展，从而让学生都有体验成功的机会，在成功的基础上探索更深层次的问题，形成良好的思维品质，培养创新思维.图6

下面的题目（某地的一道中考试题）就是一种有益的尝试：

案例4已知O内切于四边形ABCD，连结AC、BD，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：绘出工整图形，不写画法，图中除A、B、C、D、O五个字母外，不再标注其它字母，不再添任何辅助线，不写推理过程，推出五条结论得满分，推出六条以上者应给予加分.）

这道试题的形式突破了呆板固定的“模式”，它确定了已知条件后，不限制结论，而是让学生根据条件先画出标准的图形（如图6所示），再分析条件，去尽可能多地探索结论，发现结论：

（1）∠ABD=∠ADB；（2）AC平分∠BAD；

（3）AC垂直平分BD；（4）∠BAC+∠DBA=90°；

（5）ABC≌ADC；（6）BC=CD；

（7）S四边形ABCD=12AC·BD……

学生在探索结论的过程中，视野开阔了，他们的智力及数学才能得到了充分的发展，这个解答过程充分揭示了思维的广度和深度.这个例子告诉我们，在教学中，可选一些典型的题目，让学生去努力探索问题结论的各种情况以及新颖的解法，从而提高他们的思维品质，逐步培养学生的创新能力.

《标准》下数学教学应关注的问题很多，但我们认为在课堂教学中，只要学生有了学习的兴趣，掌握了科学的学习方法，就能主动的进行思考与探索，这些都是产生创新火花的必要条件.因而“兴趣”、“思考”、“学习方法”和“创新意识”成为现代数学课堂教学要关注的四个核心问题.只要我们的数学课堂教学能长久的关注这四个问题，就能逐步实现从“学会数学”到“会学数学”的教育目的.