简洁更需严谨

1 问题提出

题目1 已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b2x+1+a是奇函数，求a，b的值.

文[1]给出了如下的解答.

方法1：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即b-12+a=0，b-121+a=-b-24+a，联立两式解得b=1，a=2.

方法2：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即b-12+a=0，所以b=1.从而f（x）=1-2x2x+1+a.又f（-x）=-f（x），得1-2-x2-x+1+a=-1-2x2x+1+a，整理得（2-a）（1-2x）=0，这个等式对一切x∈R成立，

所以有2-a=0，即a=2.

评析 文[1]指出方法1直接利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），得到方程组来进行求解，简化了计算.但笔者认为，方法1看似简洁，实际上极不严谨.

2 错误分析与纠正

从f（x）是定义域为R的奇函数，当然能得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），但反过来，若f（0）=0，f（-1）=-f（1），能得到f（x）是定义域为R的奇函数吗？显然不行.“f（x）是定义域为R的奇函数”是“f（0）=0，f（-1）=-f（1）”的充分不必要条件.所以若利用方法1求解，还没有结束，需要检验b=1，a=2时，f（x）是定义域为R的奇函数.过程如下：

当b=1，a=2时，f（x）=-2x+12x+1+2.

因为f（x）+f（-x）=-2x+12x+1+2+-2-x+12-x+1+2=-2x+12x+1+2+-1+2x2+2x+1=0.

所以有f（-x）=-f（x）.从而f（x）是奇函数.所以b=1，a=2.

至于方法2，同样也需要检验.

当然，题目1也可以采用定义法做，这样看似繁琐，却可以避免检验，也可锻炼解题者处理带字母的运算能力.具体过程如下：

因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以a≥0，且对于任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），从而f（x）+f（-x）=-2x+b2x+1+a+-2-x+b2-x+1+a=0，整理得：（2b-a）22x+（2ab-4）2x+（2b-a）=0，对于任意的x∈R成立.所以2b-a=0

2ab-4=0，又因为a≥0，所以得b=1，a=2.

3 类似错误的延续

3.1 一次随堂听课中的问题

在一次推门听课中，上课教师这样评价了学生的解题过程.

题目2 已知f（x）=x3+ax2+3x-9，若f（x）在x=-3时取得极值，求a的值.

学生说，先求导f′（x）=3x2+2ax+3，因为f（x）在x=-3时取得极值，所以f′（-3）=0，即30+6a=0.从而得a=-5.教师对学生的回答评价是：“很好，很简洁.”然后就继续处理另一个问题了.

评析 由于“f（x）在x=-3时取得极值”是“f′（-3）=0”充分不必要条件，因此上述解答，也未结束.还需要检验在x=-3左右的导数值是否异号.此题学生所犯的错误与文[1]中对题目1的解法错误的本质是相同的，但教师的评价，无疑会助长学生处理问题的不严谨.

3.2 教材中的一处商榷

教材[2]，[3]中对于椭圆标准方程的推导过程，笔者认为就有不严谨之处.先摘录如下（为了方便说明，笔者给每个方程加了序号）：

以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点坐标F1，F2分别为（-c，0）和（c，0）.又设M到F1，F2的距离的和为2a.

由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

因为|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，

所以

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a. （1）

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，（2）

将这个方程两边平方，得

（x+c）2+y2=

4a2-4a（x-c）2+y2+（x-c）2+y2，（3）

整理得

a2-cx=a（x-c）2+y2， （4）

上式两边再平方，得

a4-2a2cx+c2x2=

a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2， （5）

整理得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），（6）

两边同除以a2（a2-c2），得

x2a2+y2a2-c2=1. （7）

之后，教材中通过引入字母b，就给出了椭圆方程的标准形式.

评析 事实上，这样的公式过程并没有结束.方程（7）与原方程（1）是否同解，并未给出解释.而在方程的变形过程中经历了两次平方处理，这显然有可能破坏了方程的同解性.所以还需要进一步说明两次平方前后的方程是否同解.可作如下的补充：

先说明方程（4）与（5）是否同解.方程（5）同解于方程.

a2-cx=a（x-c）2+y2和a2-cx=-a（x-c）2+y2.

由方程（5）的同解方程（6）可知|x|≤a.又因为a>c>0，所以a2-cx>0，说明上式的第二个等式为矛盾等式.因此方程（4）与（5）同解.类似的，可以说明方程（2）与（3）也同解（本文从略）.当然也可根据学情说明检验从略，但是绝不能一字不题，就过去了.否则会为学生在以后求解无理方程时，不验根导致错误，埋下错根.

4 关于错解的思考

从报刊杂志、教师的课堂评价到教材都出现了这些看似简洁，实则不严谨的错误.引起了笔者深入的思考.

41 错误的原因

首先是对答案的急功近利的追逐.题目1与题目2的错解中，结果是正确的，但这也只是碰巧.若将题目1改为“若f（x）=lg（2x1+x+a）（a∈R）是奇函数，求a的值.”或“已知函数f（x）=-2x+b2x+1+a是奇函数，求a+b的值”.若按题目1的错解处理方法，改后的第一个题目就只能得到一个错解，而后一个题目又会出现增解.若将题目2改为“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，求a的值”，若按照处理题目2时，那位教师和他的学生们采用的方法，就会导致增解，产生错误.对答案的一味追逐，无疑助长解题者偶尔做“对”的欣喜，结果对了就行，恕不知，错误就掩盖在正确的结果中，下次按同样的方法去解，答案正确与否，就很难说了.

其次是对相关数学知识的不求甚解，乃至一知半解.教什么永远比怎样教更重要，数学教师带着对相关数学知识的误解，如何能教好学生.题目1与题目2错解的实质是一样的，即在推理的过程中，把上条件是下条件的充分不必要条件误认为是充要条件了.

最后是严谨性和可接受性的矛盾.编写教材的专家学者当然知道，给学生展现的椭圆标准方程的推导过程是欠严谨的，可能是出于对学生可接受性的考虑.但笔者认为，即便如此，也应注明“检验从略”.

4.2 类似错误的纠正策略

第一，要有数学学科意识.数学学科有别于其他学科，数学要求步步有据，这才能保证结果是正确的，无容置疑的.不论是学生，还是教师只有具有这种数学学科的理性精神，才可能学到真数学，而不是一个所谓的正确答案.

第二，要理解真数学.解题时，理解每一个相关概念，原理.用正确的方法和原理来指导解题才是学到了真数学.当然这里不是反对猜想、特殊化等解题方法，但是非理性必须得给出理性的解释.

第三，要积累一些错误解法的反例，通过反例教学增强学生的“免疫力”.正例的作用很重要，反例的作用有时会更为有效，通过一个例子说明一些错误的解法，往往具有较好的效果.

有时，看似简洁的解法，却掩盖了严重的逻辑漏洞.严谨性是数学学科的重要特征，我们在处理数学问题时，必须步步有据，绝不能含含糊糊过去.

参考文献

[1] 刘祥.基本初等函数（I）[J].数学通讯，2013，（1-2）（上）：86-87.

[2] 单.普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[3] 刘邵学.普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）[M].人民教育出版社.2007.

作者简介 仝建，男，1980年生，安徽灵璧人，中学一级教师，主要从事数学课堂教学理论与实践研究.