时间:2022-08-01 04:59:49
一、教材依据:
北师大版八年级数学下册第六章第五节:三角形内角和定理的证明。
二、设计思想:
1、教材分析:在欧几里德几何中,三角形内角和定理与第五公设是等价命题,是否成立是欧氏几何与非欧几何的分水岭。三角形内角和定理的证明在初中数学整个知识系统中的地位和作用是很重要的. 通过反思三角形内角和的探究、证明使学生进一步体会数学研究建构的过程;学习数学证明,体会数学证明的严谨性和完美性;通过多种证法解培养学生的思维能力、创新意识;同时为下节课学习三角形外角定理及今后学习多边形、圆等相关知识及数学证明等打下良好基础,具有承上启下的作用。
2、学情分析:学生在小学初步认识了三角形,知道三角形的内角和为180°;七年级时已用测量、剪拼的方法探究得出三角形的内角和为180°。学生对三角形的内角和为180°这一事实是认可的,但八年级学生的思维已有一定的批判性,加之前面已学习平行线的判定、性质有关知识和证明,他们知道观察、测量、猜想和特殊验证得出的数学结论是不可靠的。因此,引导学生再反思探究、证明三角形的内角和为180°是非常必要的,同时本课时教学为学生继续学习推理论证储备必要的数学思想和方法,对学生思维能力、创新能力的培养也有其更重要的现实意义。
3、设计思想理念:①引导学生反思三角形内角和等于180°的探究过程,用数学论证的观念分析探究过程中导致数学结论不一定成立的步骤,鼓励学生解决问题自主建构新的数学知识和能力; ②通过多种思路和证法培养学生的思维能力、创新能力; ③介绍欧式几何与非欧几何拓宽学生眼界培养学生积极探究数学的情感。
三、教学目标:
①通过反思三角形内角和的探究、证明使学生进一步体会数学研究建构的过程;②学习数学证明,体会数学证明的严谨性和完美性;③通过一题多解培养学生的思维能力、创新能力。
四、教学重点:①三角形内角和的探究、证明;②证明的基本要求(格式、言必有据、言简意赅)
五、教学难点:
①辅助线的引入和添加;②论证时学生思维的条理和语言的组织。
六、教学准备:
圆规、三角尺、硬纸三角板一个、胶棒、小刀。
七、教学过程:
(一)导入课题:师:同学们会画三角形吗?知道它的内角和为多少度吗?怎样知道的?
生:?
师:七年级时,我们用什么样的方法探究过三角形的内角和?
师生分析讨论:观察、测量得出的结论可靠吗?
师:今天我们再回头再探究反思一下三角形的内角和(书写课题)
(二)探究反思:
1、教师演示:用剪拼的方法验证三角形的内角和。
2、师生分析:上面剪拼过程不可靠(有可能出问题)的是哪一步?(当作出∠A=∠1后,∠2是否正好等于∠B)
3、辅助线的引入和添加。
(三)学习内角和定理的证明:
1、分析证明思路。
2、书写证明过程,强调证明的基本要求:格式、言必有据、言语简练
(四)反馈练习:
1、分析证明一中,作∠1=∠A后AB、CE之间有什么关系?能否直接作AB∥CE?
2、引导练习(学生版演)教师巡回指导。
3、师生评价。
(五)拓展训练:
1、分析讨论:上述证明中,能否把∠B、∠C移到定点A拼成平角再证?怎样作?怎样证明?
2、学生练习,教师指导。
3、师生分析:上述证明的相同之处?作辅助线,把三个角移到同一个顶点上。
师:能否把三个内角移到三角形一边某一定点上拼成平角再证?
4、学生探究,教师指导。
5、师生交流评价。
6、师:能否把三个内角移到任何一点上,拼成平角再证?
教师引导探究。学生完成证明。
7、师:前面多种证法它们的共同点在什么地方?
分析得出:把三角形的三个内角移到一点拼成一个平角。
8、师:我们还可以用什么办法拼成180°的角吗?比如平行线的同旁内角。
9、学生探究,教师指导:
提示:∠A+∠1+∠2=180° ∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∠B=∠2 ∠1=∠5,∠4=∠6
(六)知识拓展:欧几里得几何与非欧几何。
师:今天同学们太厉害了,能用多种思路和方法证明三角形的内角和等于180°:把三角形的三个内角移到同一个定点上拼成平角、把三角形的三个内角移到三角形一边上任何一个点上拼成平角、把三角形的三个内角移到三角形内外任何一点上拼成平角;利用平行线的性质,把三角形三个内角转化为如平行线的同旁内角。历史上有很多数学家对三角形的内角进行过探究和证明,他们的根本出发点确不相同。欧几里得为代表的数学家承认三角形的内角和是180°,而黎曼等为代表的数学家怀疑或不承认三角形的内角和是180°。同学们大胆的设想一下,在一个无限大的球面上画一个三角形,它的内角和会等于多少?在一个无限大的球面内面画一个三角形,它的内角和会等于多少?事实上承认三角形的内角和是180°,用定义、公里通过严谨的数学论证就可导出欧几里得几何,不承认三角形的内角和是180°,用一些用定义、公里通过严谨的数学论证也可导出一种几何体系,它们就是非欧几何。
由此可见,在数学学习上,不但要有理性的思维还要有大胆的设想和猜想。现在请同学们阅读教材《你能想到什么》。
(七)课堂小结:本课时我们一起探究反思了三角形的内角和,学会了用多种途径证明三角形的内角和等于180°,体会了数学证明的严谨和完美。
(八)布置作业:数学理解1、2、3.
八、反思:
1、本课时容量较大,本设想借助信息技术对基本图形、例题、练习、小结等作图片展现,但作为中老年教师对信息技术的应用还有一定的畏惧心理,学校的应用平台也不是很好;再者,本课时根本宗旨是引导学生探究论证三角形的内角和等于180°,因此担心应用媒体"弄巧成拙 ",消弱了数学学习研究论证的"本来面目",因此作罢。但笔者还是提倡中青年教师充分利用媒体技术,做好信息技术与数学教学的整合。
2、导入新课时提问学生"怎样知道三角形的内角和等于180°?"。原设想学生答出:小学学过、测量得出、拼成平角得出,可是在课堂上有同学答出:"用(n-2)*180°计算得出",这时教师要分析引导(n-2)*180°的得出过程,让学生理解(n-2)*180°的得出就是根据三角形的内角和等于180°而来,数学论证时这种循环证明是不允许的。