妙用运算律 巧解对数题

下面先给出换底公式及其证明，然后再推导出四条特殊运算律。

换底公式：logbN=logaNlogab。

证明：设logbN＝x，则bx＝N。

两边均取以a为底的对数，得

logabx=logaN，

xlogab=logaN，

x=logaNlogab，即logbN=logaNlogab。

运算律1——外移律：loganbm=mnlogab。

本推论可称为“外移公式”，即底数与真数的幂分别外移成一个分数的分子与分母。

特例：当m＝n时，有

loganbn=logab，log1a1b=logab，

log1ab=loga1b=－logab。

证明：由换底公式，得

loganbm=logabmlogaan=mnlogab。

例1 计算：log89?log2732。

分析：本题可用外移公式解决。

解：原式＝log2332?log3325

=(23log23)?(53log32)

=23×53=109。

运算律2——连锁律：logab?logbc?logcd=logad。

本推论可称“连锁律”。

特例：logab?logba=1，logab=1logba。

证明：由换底公式，得

logab?logbc?logcd=logmblogma?logmclogmb?logmdlogmc=logad。

例2 已知log34?log48?log8m=log416，求m的值。

分析：根据本题的特征，可利用“连锁律”解决。

解：由已知，得log3m=log416，

即log3m=2，得m＝3＝9。

运算律3——真数互换律：logxa?logyb=logxb?logya。

推广：logxa?logyb?logzc=logxb?logyc?logza=logxc?logya?logzb。

本推论特点是“真数互换律”。

证明：由logab=logxblogxa=logyblogya，

即有logxa?logyb=logxb?logya。

还可推广为：

logxa?logyb?logzc

=logxb?logyc?logza=logxc?logya?logzb。

例3 求log2125?log318?log519的值。

分析：对于不同底的对数相乘，可利用“真数互换律”。

解：原式＝log218?log319?log5125

=(－3)×(－2)×(－2)=－12。

运算律4——底真互换：alogcb=blogca。

本推论特点是“底、真互换”。

证明：由推论3知，logcb?logca=logca?logcb，

logcalogcb=logcblogca，即alogcb=blogca。

例4 求7lg20?12lg0.7的值。

解：原式＝71+lg2?21－lg7=(7×2)(7lg2×2－lg7)=14?(2lg7×2－lg7)＝14。

例5 解方程2xlg3?3lgx－5xlg3－3＝0．

解：由推论4知，3lgx=xlg3，则原方程可化为

2(xlg3)2－5xlg3－3＝0，

即(2xlg3＋1)(xlg3－3)＝0。

x＞0，有2xlg3＋1＞0。

从而xlg3－3＝0，解之，得xlg3＝3，即x＝10。

例6 解方程7log3(2x2－9x+14)=4log37。

解：由推论4，得4log37＝7log34，

故原方程可化为7log3(2x2－9x+14)=7log34。

log3(2x2－9x+14)=log34。

2x2－9x＋14＝4，解之，得x＝2或x＝52。

经检验，它们都是原方程的解。

例7 设a＞0，且a≠1，解关于x的方程algx?xlga－2?(algx+xlga)+3=0。

解：由推论4，可设t＝algx＝xlga，则原方程可化为t2－4t＋3＝0，解之，得t＝1或t＝3，

即xlga＝1或xlga＝3。

故x＝31lga或，x＝1。

经检验，它们都是原方程的解。

运算律5——运用乘法公式。

指利用平方差、立方差、完全平方公式等，进行因式分解(或逆用)，从而使问题简化。

例8 计算以下各式：

（1）lglg25－lg22lg25－lg4；

（2）lg35＋lg32＋3lg2?lg5。

解：（1）分子利用平方差公式即可分解，得

原式＝lg(lg5+lg2)(lg5－lg2)2lg5－2lg2

=lglg2+lg52=lg12=－lg2。

（2）逆用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)即得。

原式＝lg35＋lg32＋3lg2?lg5?1

＝lg35＋lg32＋3lg2?lg5?(lg2＋lg5)

＝(lg2＋lg5)3＝(lg10)2＝1。

（作者单位：河南省泌阳一高）