不同初始条件下谱函数之间的联系方程

时间:2022-07-28 09:51:32

不同初始条件下谱函数之间的联系方程

摘要:研究了在两个奇端点都属于极限点型时,谱函数在满足不同初始条件下的联系方程,进而得到谱函数的确定情况.

关键词:Sturm-Liouville问题;极限点;谱函数;联系方程

0引言

奇异-方程

(1)

满足初始条件

, (2)

的函数为,其中系数函数满足下列条件:在区间上为实函数;当时, >0;.

设和为方程(1)的2个线性无关解,并且满足初值

(3)

对任意的,存在,使得是方程(1)属于且满足边界条件的解.对任意,构成中一个圆,当时,它趋于极限点或极限圆,分别称在无穷远处是属于极限点型的或属于极限圆型的.

当在奇端点属于极限点型时,文献[1]作者给出了在不同初始条件下谱函数之间的联系方程.文献[2]中作者研究了在奇端点及都属于极限点型时,方程(1)在满足不同初始条件下的函数之间的联系方程,并且讨论函数的连续性和可微性.本文笔者在文献[1]和[2]的基础上给出了方程(1)在奇端点及都属于极限点型时满足不同初始条件下的谱函数之间的联系方程.

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作者简介:崔庆岳(1984-),男,山东济宁人,广州城建职业学院基础部助教,硕士。

1 预备知识

引理1[7] 设为算子的谱矩阵, 分别为端的函数,则有

其中:;

;

在此,称矩阵为的矩阵.

引理2[7]设为上的二阶对称微分算式,为在有限区间上生成的自伴算子的谱矩阵,为的矩阵,则有

(1) 存在区间列及边条件参数列,当时,,并且有下式成立:

,

,.

(2) 若为的任意两个连续点,则有

引理3[3]对于任意的,有下列等式成立:

引理4[6] 法都引理:设是上的一组非负可测函数,则有成立。

下面定义在实数集上由谱函数所生成的谱测度,记为,并且定义谱函数的对称导数如下:

(4)

下面的引理将给出函数的边界性质,以及函数和谱函数的对称导数之间的关系式.

定理1(1)在勒贝格可测意义下,对几乎所有的及每一个固定的,当时,收敛到有限值.

(2)当时,在点收敛到有限值当且仅当时,对任一,在点收敛到有限值.

证明:(1)由引理1和引理2可得,存在序列,以及相应的边条件列,使得当时,为赫格乐次函数[1].因此,对每一固定的,当时,函数收敛到有限值.

(2)由引理3可得,上述性质显然成立.

定理2 (1)谱函数在点有有限对称导数当且仅当时,收敛到有限值,并且

(2)对于在勒贝格可测和可测意义下的几乎所有的,谱函数在点有有限对称导数当且仅当时,收敛到有限值.

证明:(1)由对称导数的定义式(4)和法都引理(4)及其逆命题可得,上述性质成立.

(2)设,当时,收敛到有限非实极限,但不收敛.由定理1(1)可得,集合存在勒贝格零测度.因此,再由文[4]中的命题1可得,谱测度在集合上是绝对连续的.所以, 集合也存在零测度.因此,在勒贝格可测和可测意义下上述性质成立.

由文[5]可得,当时,,的常极限由非正常极限所代替,对称导数由普通导数所代替时,定理1,定理2中的结论仍然成立.

定理3 对几乎所有的,若存在一个使得存在,且满足,则

(1) 对于所有的,存在,并且满足.

(2)

证明:(1)由定理2可得,对几乎所有的,如果谱函数在点有有限对称导数,并且满足,则当时,收敛到有限值.再由定理1(2)可知,可知当时,对于任意同样收敛到有限值.因此,由定理2(1)可得,对于所有的,存在,并且有

(2)对于和任意的,对定理1中的方程式两端取虚部,可得

设,当时,对上式两端取极限,再根据定理1,定理2(1)以及定理3(1)即得定理结论.

推论4 对于给定的,如果谱函数的导数存在且满足,只要给出初值的谱矩阵及任意的值,就能唯一确定相应谱函数的导数,并且满足条件.

参考文献:

[1]GILBERT D J,HARRIS B J.Connection formulae for spectral function associated with singular Sturm-Liouville equations[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect,2000,A130:25-34.

[2]曹之江.常微分算子[M].上海:上海科学技术出版社,1987.

[3] 崔庆岳. 一类奇异Sturm-Liouville问题的Weyl函数的联系方程[J].肇庆学院学报,2009,30(5):14-18.

[4] GILBERT D.J.,PEARSON D.P. On subordinacy and analysis of the spectrum of one dimensional Schrodinger operators.J.Math.Analysis Appl.128(1987),30-56

[5] LOOMIS L.H. The converse of the Fatou theorem for positive harmonic functions.Trans.Am.-

Math.S-oc.53(1943),239-250

[6] 于宗义. 实变函数[M],济南:山东大学出版社,2003

[7]曹之江.常微分算子[M]. 上海: 上海科学技术出版社

Connection Equation For SpectralFunctions

CUI Qingyue

(Department of Base Courses,Guangzhou city construction college,Guangzhou Guangdong 510925,China)

Abstract:We suppose that the contact equation of the spectrum function in the meet different initial conditions which in two strange endpoint belong to limit point type, and then get determination of the spectral function.

Key words : Sturm-Liouville questions;limit point;spectral function ;connection equations

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