例谈建立轴对称模型解决数学问题

[摘 要] 总结教学经验我们发现：从学生的角度来说，数学能力是学好数学的根本，建立数学思想是学好数学的核心. 从教师的角度来说，数学教学的目的是培养学生的数学思维，让他们养成用数学的模式去思考数学问题的习惯. 这就需要我们在课堂中对学生进行数学思想和方法的培养，而初中数学中数学建模思想很重要. 本文拟从数学建模思想的方面来谈谈，特选择中考常见的一类问题――轴对称问题加以说明.

[关键词] 轴对称；最小值；方案

第二轮新课程标准已于2011年重新颁布，这一轮的课程标准经历了前十多年的摸索、实验和总结，相比第一轮更加完善，对于学生创新精神和独立思考的能力要求更加符合时代的精神. 而我们一线数学教师在践行新课程标准理念的过程中，有着不可替代的地位和作用，也就是说，新一轮课程改革的成败与我们一线教师能否树立新的教学理念有着密不可分的关系，因为推行新课程的主阵地还是课堂，特别是新课程标准的理念和目标，最终还需要课堂来承载和体现.

我们知道初中数学中最常见的思想方法有很多，如整体思想、转化（化归）思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想、数学建模思想等，对于学生数学能力的提升，特别是解决问题的能力培养来说，数学建模思想非常重要，本文拟从数学建模思想的方面来谈谈对学生能力的培养，特选择中考常见的一类问题――轴对称问题加以说明.

例如，新人教版八年级《数学》上册第42页的探究题：如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气. 泵站应该修在管道的什么地方，才能使所用的输气管线最短？

本题是利用轴对称变换求最小值的经典之作，无论在理论上，还是在实践中，都有广泛的应用价值，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活. 在后续的学习过程中，我们常常应用这个模型来解决最小值问题，实际应用时就是利用轴对称模型求最短距离.

经过最近几年的研究，笔者发现在教学过程中，关键在于要让学生亲身经历问题解决的过程，真正体会到模型蕴涵的数学思想方法：利用变换，化曲为直，进而求最小值. 熟练以后他们就会建立起一种数学式的思维模式，以后遇到类似的问题，他们就能想到应用轴对称知识去解决问题，即应用这种方法去解决此类问题.

根据上面的分析我们会发现，在解决人教版八年级《数学》上册第42页的探究题后，可以引导学生进一步反思，及时归纳、总结得出两种模型：“利用轴对称可在直线l上找到唯一的点P到A，B两点的距离之和最小（或者是点P到A，B两点的距离之差的绝对值最大）”，依据是“两点之间，线段最短”. 更具体地，我们可以把上面的两种模式分别构建出来，把这两类问题统称为：一个动点与两个定点之间距离的最值问题. 针对这两种情况下的问题，我们分别建立模型一和模型二.

模型一：如图2所示，在直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小.

求法：作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），连结A′B（或B′A）交l于一点，则该点即为符合题意的点C. （作图略）

模型二：如图3所示，在直线l异侧有两个定点A，B，在直线l上找一点C，（1）使AC+BC最小；（2）使AC-BC最大.

求法：（1）情况比较简单，连结AB交l于一点，则该点即为符合题意的点C.

（2）作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），连结A′B（或AB′）交l于一点，则该点即为符合题意的点C. （作图略）

下面我们就结合最近几年的中考试题来谈谈这类数学模型的应用.

例1 （2009浙江衡州）如图4所示，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.

（1）求a的值及点B关于x轴对称的点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使AQ+QB最短，求出点Q的坐标.

（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

分析 （1）用代入法可求得a= ， n=2，易得点P的坐标为（2，-2），从而可求出直线AP的解析式是y=- x+ ，它与x轴的交点坐标即为所求的点Q ，0. 不难发现本题是模型一的应用.

（2）仔细分析我们会发现本题①②均是模型一的应用，只不过在设置过程中，有一些其他形式的变化. 如果审题能力够强，平时的训练有培养学生关于轴对称的建模思想，这里的两个问题就显得容易多了，特别是①，只要能画出图形则与（1）的解答步骤是一样的.而对于②，需要应用转化思想. 要求四边形A′B′CD的周长最短，注意到线段A′B′和CD的长是定值，从而可把问题转化为要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短即可. 答案为①抛物线的解析式为y= x+ 2. ②抛物线的解析式为y= x+ 2. 解答过程与（1）问相同.

例2 （2012福建福州质检）如图5所示，已知抛物线y= x2+bx+c经过A（3，0），B（0，4）两点.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C′的坐标.

（3）若点D是第二象限内一点，以点D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E，F，H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PH-PA的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

解答 （1）因为抛物线y= x2+bx+c经过A（3，0），B（0，4）两点，所以0= ×32+3b+c，4=c，解得b=- ，c=4.所以抛物线的解析式为y= x2- x+4.

（2）令 x2- x+4=0，解得x =1，x =3，所以点C的坐标为（1，0）. 因为点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），所以直线AB的方程为y=- x+4. 所以点C关于直线AB的对称点为C′ ， .

（3）根据题目要求我们很明显地发现，本题属于模型二②的情况，所以按照前面所构建的模型，我们需要做的事情就是去找轴对称. A，C关于抛物线的对称轴对称，可连结HC并延长交对称轴于点P，因为D与x轴、y轴均相切，且在第二象限，所以设点D的坐标为（-m，m）（m>0）. 因为D也和直线AH相切，且切点为点H，所以点D到点H的距离等于点D的纵坐标m，解得m=3. 所以点D的坐标为（-3，3）. 所以点E的坐标为（-3，0）. 所以AE=6. 根据切线长定理有AH=AE，所以易求得点H的坐标为- ， . 如图7所示，根据抛物线的对称性得PA=PC，因为PH-PA=PH-PC≤HC，所以当H，C，P三点共线时，PH-PC最大. 因为HC= = ，所以PH-PA的最大值为 .

从上面两种类型的问题来看，我们发现其实质就是一种，即利用轴对称来解决数学问题. 而轴对称的问题核心又是根据“两点之间，线段最短”的原理，进一步来说，我们认为对于这一类问题的教学，不能只关注其结论，关键还在于让学生亲身经历问题解决的过程，真正体会到模型蕴涵的数学思想方法：利用变换，化曲为直，进而求最小值. 在我们的日常教学行为中，应加强数学思想方法的渗透，使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，更要能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识. 如果教师有了这样的教育理念，我们就不难理解前辈的经典名言：“数学基础知识与基本技能所反映出来的数学思想方法才是数学知识的精髓. ”

除了上述两种类型之外，在实际操作和解题过程中，除了一个动点与两个定点之间距离的最值问题，我们常常还会遇到这个模型的变式题型，我们称之为：“三折线段问题”，就是两个动点与两个定点距离之和的最小值，我们常说“万变不离其宗”，所以只要我们掌握了二折线段的精髓，对于“三折线段问题”也就迎刃而解了. 例如下面的中考试题就是很有代表性的问题.

例3 （2011福建福州）如图8所示，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），点H，B关于直线l ∶ y= x+ 对称.

（1）求A，B两点的坐标，并证明点A在直线l上.

（2）求二次函数的解析式.

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN，NM，MK，求HN+NM+MK和的最小值.

分析 （1）因为二次函数的解析式为y=ax2+2ax-3a，令ax2+2ax-3a=0，解得x =-3，x =1，所以A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）. 将点A的坐标代入y= x+ ，有0= ×（-3）+ =- + ，等式成立，所以点A在直线l上.

（2）容易求得点B关于直线l对称的点H的坐标为（-1，2 ），因为二次函数的图象过点H，所以有2 =a・（-1）2+2a（-1）-3a，解得a=- . 所以二次函数的解析式为y=- x2- x+ .

（3）不难发现，本题就是“两个动点与两个定点距离之和的最小值”类型的问题. 应用上面我们构建的模型，可通过轴对称用相等的线段把问题转化为一个三角形的三条边关系，再利用相关知识求解即可. 分析思路可以从两个方面来入手.

思路一，如图9所示，作点K关于直线AH的对称点Q.

①因为点H，B关于直线AK对称，所以HN=BN. 因为MN+BN≥MB，所以HN+MN的最小值是MB.

②因为点K关于直线AH的对称点为点Q，所以MK=MQ.

③因为MB+MK≥BQ，所以MN+HN+MK≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.

④应用勾股定理可求出BQ的长.

思路二，如图10所示，作点K关于直线AH的对称点Q.

①因为点K关于直线AH的对称点是点Q，所以MK=MQ.

②因为MQ+MN≥QN，所以MK+MN≥QN.

③因为点H，B关于直线AK对称，所以HN=BN. 因为QN+BN≥BQ，所以MK+MN+NH≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.

④应用勾股定理可求出BQ的长.

容易求得点K的坐标为（3，2 ），所以点K关于直线AH的对称点Q的坐标为（-3，4 ）. 所以MN+HN+MK的最小值为BQ的长，即8.

总体来说，上面所列举的几个例题均是中考原题，或者是根据中考原题进行改编的试题. 求两条线段（或者三条线段）之和的最小值，或者求两条线段之差的绝对值的最大值， 在解决此类型的问题中，不难发现它们有一个共同的核心，即题目在第一小问或第二小问之后，设计了一个探究过程，让学生综合应用学习过的基础数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握情况，并要求学生具备转化能力、数学建模能力等. 其实，我们经过研究也会发现，第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用、拓展，体现了数形结合的思想理念. 整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归.

在日常的课堂教学中，我们特别奉行古人所说的：“授人以鱼，不如授之以渔”，所以教给学生解决数学问题的思想方法，进而让他们学会学习，远比教给学生数学知识本身重要得多. 这句话是我从事十多年数学教学以来，对我自己的一种教学要求和行为规范，不管我们今天教给学生多少东西，也不管学生未来的发展会达到一个什么样的高度，我一直坚信今天教给学生的，要能够对他未来十年、二十年，甚至一辈子产生影响，绝不仅仅是一些单纯的代数知识、几何知识的简单堆砌，而应该是通过学习数学而形成的一种数学思维，一种用数学的模式去思考问题的方法.