时间：2022-07-20 08:09:29
解答数学问题都有相应的方法，求某个命题的否命题及命题的否定同样有“法”可循，有“则”可依，故曰：答有答“法”，否有否“则”.本文就谈谈求某个命题的否命题及命题的否定的相关“法”、“则”.
一、 命题的否命题
设命题p：若A则B，那么命题p的否命题为：若非A则非B.（条件和结论都要进行否定）
如果一个命题不是“若A则B”的形式，则需先改写成这种形式.
例1 写出下列各命题的否命题.
（1） 同旁内角互补；
（2） ?坌x∈（0，+∞），2x+3＞8.
解 （1） 因为原命题等价于“若两个角是同旁内角，则它们互补”，所以其否命题为“若两个角不是同旁内角，则它们不互补”.
（2） 因为原命题等价于“若x∈（0，+∞），则2x+3＞8”，所以其否命题为“若x（0，+∞），满足2x+3≤8”.
二、 简单命题的否定
设命题p：若A则B，那么命题p的否定：若A则非B.（条件不变，只要结论进行否定）
由此可知原命题和它的否命题的真假性没有必然联系，而和它的否定的真假性相反.
例2 写出下列各命题的否命题、命题的否定，并判断它们的真假.
（1） 命题p：若a>b，则2a>2b；
（2） 命题q：若四棱锥各侧面都是正三角形，则该四棱锥是正四棱锥.
解 （1） 命题p的否命题：若a≤b，则2a≤2b；真命题.
命题p的否定：若a>b，则2a≤2b；假命题.
（2） 命题q的否命题：若四棱锥各侧面不都是正三角形，则该四棱锥不是正四棱锥；假命题.
命题q的否定：若四棱锥各侧面都是正三角形，则该四棱锥不是正四棱锥；假命题.
三、 含有量词的命题的否定
含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题，它们的一般形式为：全称命题：?坌x∈M，p（x）；存在性命题：?埚x∈M，p（x）.
全称命题的否定：?埚x∈M，非p（x）；存在性命题的否定：?坌x∈M，非p（x）.
例3 写出下列各命题的否定.
（1） 命题p：每一个实数的平方都是非负数；
（2） 命题q：所有的直线m与平面α都不垂直；
（3） 命题r：存在一个实数a，使a不能取对数；
（4） 命题s：有的向量方向不确定.
解 （1） 非p：有些实数的平方不是非负数.
（2） 非q：有些直线m与平面α垂直.
（3） 非r：任意一个实数a，有a都能取对数.
（4） 非s：任意一个向量的方向都是确定的.
四、 含有逻辑联接结词的命题的否定
非p的否定：p；p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
例4 写出下列各命题的否命题、命题的否定，并判断它们的真假.
（1） 命题p：已知a，b，c，d∈R，若a=b且c=d，则a+c=b+d；
（2） 命题q：弦的垂直平分线经过圆心且平分弦所对的弧.
解 （1） 否命题：已知a，b，c，d∈R，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d；假命题.
非p：已知a，b，c，d∈R，若a=b且c=d，则a+c≠b+d；假命题.
（2） 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则它不经过圆心或不平分弦所对的弧；真命题.
非q：弦的垂直平分线不经过圆心或不平分弦所对的弧；假命题.
五、 含有省略词的命题的否定
在一些命题中，语句可能较冗长、复杂，常常需要经过适当精简才能呈现出通俗的意思，对于这种题意隐晦含糊而常被误解的命题，欲写出其否定形式，首先要领悟出其省略掉的关键字词，将其完整的表达形式还原出来，然后再进行改写.
例5 写出下列各命题的否命题及命题的否定.
（1） 命题p：等底等高的两个三角形面积相等；
（2） 命题q：对顶角相等；
（3） 命题r：已知a，b∈R，若a
分析 （1）“等底等高”的本意应阐述为“等底且等高”；（2）“对顶角相等”应理解为“若两个角是对顶角，则它们相等”；（3）“a
解 （1） 否命题：如果两个三角形不等底或不等高，则它们的面积不相等；非p：等底且等高的两个三角形面积不相等.
（2） 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等；非q：若两个角是对顶角，则它们不相等.
（3）否命题：已知a，b∈R，若a≥-1或b≥-2，则a+b≥-5；非r：已知a，b∈R，存在a，b满足a
解题回眸 乍看此命题，可能会把命题r的否定写成：“若a
六、 命题的否定在综合问题中的应用
在综合性问题中，经常出现一些表达得含蓄委婉、抽象难解的语句、命题，此时要对相关命题进行一步步等价转化，尤其利用“非p的否定即为p”等重要结论化抽象为具体，从而化难为易.
例6 已知当x2-4x+3
分析 这里的命题p：“当x2-4x+3
解 令f（x）=x2+ax+3a-2，则由题意知?坌x∈（1，3），
f（x）≤0.所以f（1）≤0且f（3）≤0，即4a-1≤0且6a+7≤0，解得a≤-.
写出下列各命题的否命题及否定.
1. 命题p：在ABC中，若∠C=90°，则∠A，∠B都是锐角.
2. 命题q：?坌x∈Z，都有x2+2x+m＞0.
3. 命题r：已知a，b∈R，若a＞5，b＞10，则a+b＞20.
1. 否命题：在ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角；非p：在ABC中，若∠C=90°，则∠A，∠B不都是锐角.
2. 否命题：若x?埸Z，则x2+2x+m≤0；非q：?埚x∈Z，使得x2+2x+m≤0.
3. 否命题：已知a，b∈R，若a≤5或b≤10，则a+b≤20；非r：已知a，b∈R，存在a，b满足a＞5且b＞10，使得a+b≤20.