改进的变步长LMS改进算法

摘 要： 在基于Lorentzian函数的变步长LMS自适应滤波算法的基础上，进行进一步改进，提出了一种新的自适应LMS滤波算法，通过建立新的误差信号[e（n）]与变步长因子[μ（n）]之间的关系，消除不相关噪声的影响。并用Matlab对其进行仿真验证，表明该算法解决了收敛速度和稳态误差之间的矛盾，在保证算法的计算复杂度较低的同时，使得算法的抗干扰能力进一步提高，适用于低信噪比条件下的信号提取及滤波，为实际应用提供了更大的灵活性。

关键词： 自适应滤波； 噪声抵消； 收敛速度； 抗干扰能力

中图分类号： TN91?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）01?0011?03

1960年Widrow和Hoff提出了最小均方误差（Least?Mean?Square，LMS）算法，该算法可以将自适应滤波系统的参数自动调整到最佳状态。同时，在设计滤波系统时，只需要知道很少的或不需要任何信号与噪声之间的先验统计知识，具有很强的自学习能力、自跟踪能力和算法简单易实现等优点。因此，自适应信号处理技术在军事、医学、勘探、图像处理、振动工程等各个领域都有着极其深远的应用[1]。

1 固定步长LMS算法

固定步长LMS算法是基于最陡下降法的，其迭代公式为：

[X（n）=x（n）x（n-1）x（n-2）…x（n-L+1）T] （1）

[e（n）=d（n）-XT（n）W（n）] （2）

[W（n+1）=W（n）+2μe（n）X（n）] （3）

式中：[X（n）]表示自适应滤波器[n]时刻的输入信号矢量；[W（n）]表示自适应滤波器的权系数矢量估值；[d（n）]是期望信号矢量；[e（n）]是误差信号矢量；[L]是滤波器的阶数；[μ]是步长因子，用来控制稳定性和收敛速度。为了保证LMS算法收敛，步长[μ]的取值范围为：[0

由以上公式可以看出，在选择步长时，稳态误差和收敛速度二者之间存在着矛盾，即步长越小，失调越小，但收敛速度越慢；步长越大，收敛速度越快，但是失调越大。

2 改进的变步长LMS算法

为了克服稳态误差和收敛速度二者之间的矛盾，人们曾提出了许多种变步长LMS算法，即在算法收敛的过程中，动态的调整步长因子[μ]的大小。其中，在文献[3]中，提出了一种基于Sigmoid函数的变步长LMS算法（SVSLMS），其步长因子[μ（n）]与误差信号[e（n）]呈Sigmoid函数的关系，公式为：

[μ（n）=β11+e-αe（n）-0.5] （4）

该算法解决了收敛速度、跟踪能力和稳态误差之间的矛盾，但在误差接近零的时候，步长变化太大，使得在稳态时有较大的步长。文献[4?5]中给出了改进的算法，使得在稳态时误差变化较小。文献[6]中提出了一种新的基于Lorentzian函数的变步长LMS算法，采用Lorentzian函数作为步长因子[μ（n）]，即：

[μ（n）=αlog1+12e（n）δ2] （5）

其收敛速度和跟踪速度得到了进一步的提高。本文是在基于Lorentzian函数的变步长LMS算法的基础上，做了进一步的改进，提出了一种新的自适应LMS算法，更好地消除了不相关噪声的影响，且具有较好的抗噪声性能。改进后的步长因子[μ（n）]与误差信号[e（n）]的关系式为：

[μ（n）=αlog1+12e（n）e（n-1）δ2] （6）

3 改进算法的理论分析

在步长因子[μ（n）]与误差信号[e（n）]的关系式中，参数[α]用于控制收敛速度，其值越大，收敛速度越快；参数[δ]用于控制稳态阶段函数的形状，即误差信号接近零时步长因子的变化程度，合理设置[α]和[δ]的值，可以使得算法在最佳步长附近缓慢变化，避免由于独立噪声干扰而产生的较大影响。[α]和[δ]的具体取值方法参考文献[4]，本文不再详细叙述。

误差[e（n）]的计算公式为[e（n）=d（n）-XT（n）W（n），]可以改写成：

[d（n）=e（n）+XT（n）W（n）] （7）

由式（7）可以看出，误差信号[e（n）]与输入信号[X（n）]相关，为了便于做进一步分析，将期望信号用另一种形式表示[7]：

[d（n）=XT（n）W*（n）+N（n）] （8）

其中[N（n）]为干扰噪声信号，是与输入信号无关的均值为零的高斯白噪声；[W*（n）]为最佳权系数矢量。令：

[ΔW（n）=W（n）-W*（n）] （9）

其中[ΔW（n）]表示权系数偏差矢量， 由此可得：

[e（n）=N（n）=XT（n）ΔW（n）] （10）

[e2（n）=N2（n）-N（n）XT（n）ΔW（n）-XT（n）ΔW（n）N（n）+XT（n）ΔW（n）?XT（n）ΔW（n）] （11）

[e（n）e（n-1）=N（n）N（n-1）-N（n）?XT（n-1）ΔW（n-1）-XT（n）ΔW（n）?N（n-1）+XT（n）ΔW（n）XT（n-1）?ΔW（n-1）] （12）

由于噪声[N（n）]与输入信号[X（n）]无关且均值为零，故对式（11）和式（12）同时取期望，化简可得：

[E[e2（n）]=E[N2（n）]+E[XT（n）ΔW（n）?XT（n）ΔW（n）]] （13）

[E[e（n）e（n-1）]=E[XT（n）ΔW（n）XT（n-1）?ΔW（n-1）]] （14）

根据统计的观点，从式（13）和（14）中可以看出，由于式（13）中存在[E[N2（n）]]项，即[e2（n）]的期望值与干扰信号[N（n）]的大小相关，因此干扰较大时，算法的稳定性较差。而在式（14）中，[e（n）e（n-1）]的期望值仅与输入信号[X（n）]相关，不受干扰噪声[N（n）]的影响，即抗干扰能力较强。因此本文采用的步长因子与误差信号的迭代公式与改进前相比，可以使稳态误差更小，尤其在信噪比较低的条件下，仍然具有较好的性能。

4 计算机仿真

以自适应噪声抵消系统为平台，用Matlab软件[9?10]编程对改进后的LMS算法的滤波效果、收敛速度、稳态误差以及抗干扰能力进行了仿真验证[8]。自适应噪声抵消结构图如图1所示，在主输入端输入原始正弦信号[x（n）=sin（2πn/10）]，加性干扰信号[n0（n）]为白噪声，信噪比为20 dB，被噪声污染的信号[d（n）=x（n）+n0（n）]。在参考输入端输入与[n0（n）]相关的另一个噪声信号[n1（n）]，经过自适应抵消滤波系统处理后输出信号[y（n），]通过[d（n）]与[y（n）]的差值[e（n）]来自动调节自适应滤波器的系数，滤除原始信号中的噪声干扰。