抓住典型错误 深刻理解概念

同学们在本章内容的学习中出现的错误，大多是由以下情况造成的：对等弧、圆周角等重要概念模糊不清，认识不够，理解不透，忽视垂径定理、切线判定定理等重要定理适用的前提条件，对点与圆、直线与圆以及圆和圆的位置关系认识不全面，对图形和已知条件还没有完全把握就急忙下手寻求解答方法，等等.下面就今年中考中出现的一些典型错误进行解析，希望给同学们带来帮助.

例1 （2012连云港）如图1，O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y=x+b（b>0）与O交于A、B两点.点O关于直线y=x+b的对称点为O′.（1） 求证：四边形OAO′B是菱形；（2） 当点O′恰好落在O上时，求b的值.

错解？摇在第（1）小题的解决过程中，很多同学忽略了“直线y=x+b（b>0）与O交于A、B两点”这个条件，从而无法得出OA=OB. 在第（2）题的解决过程中，部分同学无法从“当点O′恰好落在O上”这个条件中得出OO′=2.

分析？摇此题图形并不复杂，但忽视了隐含的条件，便会错误百出.

正解 （1） 点O与点O′关于直线y=x+b对称， AO=AO′，BO=BO′.

又因为OA=OB，所以AO=AO′=BO=BO′，四边形OAO′B是菱形.

（2） 如图2，当点O′落在圆上时，OM=1，因为直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（-b，0），P（0，b），所以ONP为等腰直角三角形，所以∠ONP=45°.所以OP=■，b=■.

例2 （2010锦州）如图3所示，点A、B在直线MN上，AB=11 cm，A、B的半径均为1 cm，A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）.（1） 试写出A，B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数关系式；（2） 当A出发几秒后两圆相切？

错解？摇第（1）问的函数表达式漏写一种，第（2）问的分类讨论不全面.

分析？摇此题以运动变化为背景，分类思想突出，综合了函数知识，图中B的位置不变，即圆心不变，但半径在变，所以圆心距与时间之间的函数关系式应遵循相等关系分为两种情况，一种是点A在线段AB上，另一种是点A在点B的右侧.第（2） 问的解决方法是将变化过程中，两圆相切的情况全面地分析出来，再建立t的方程.

正解 （1） 当0≤t≤5.5时，d=11-2t，当t>5.5时，d=2t-11.

（2） 两圆相切可分为4种情况：当两圆第一次外切时，11-2t=1+1+t，解得t=3；当两圆第一次内切时，11-2t=1+t-1，解得t=■；当两圆第二次内切时， 2t-11=1+t-1，解得t=11；当两圆第二次外切时，2t-11=1+t+1解得t=13.所以，当点A出发后3s，■ s，11 s或13 s时，两圆内切.