关于用天平选球问题的逻辑推理研究オ

有十二个外形无区别的球，其中有一个球在质量上与其他的球不同，本文介绍三种仅用一架天平称三次将质量不同的球找出来的方法本文所提供的方法巧妙地采用了编码方法，此方法对所给球和称量结果分别进行编码，然后利用特殊球的编码与称量结果的编码之间的关系找出问题球并判明轻重，同时给出了该方法的具体实施时的选码、称量规则以及推广到一般情况

一、问题的提出

有十二个外形无区别的球，其中有一个因质量原因不合格，现有一架天平，要求只称三次，怎样才能找出不合格的球？

二、问题的解决

我们先定义一些符号：（1） （A）VS（B）表示用天平比较A球与B球的关系且A球放在左边，B球放在右边（2）称量结果为“=”表示天平两边相等；称量结果为“>”表示天平左边重于右边；称量结果为“

方法一将十二个球编号1～12，分成三组，分别为（1、2、3、4）、（5、6、7、8）、（9、10、11、12）

第一次：（1、2、3、4）VS（5、6、7、8）结果有三种情形

Ⅰ若（1、2、3、4）=（5、6、7、8）则问题球在（9、10、11、12）中，显然还需要两次就可以找出问题球

Ⅱ若（1、2、3、4）>（5、6、7、8），说明问题球要么在（1、2、3、4）中且偏重，要么在（5、6、7、8）中且偏轻

第二次：（1、5、6）VS（2、7、9）结果有三种情形

a若（1、5、6）=（2、7、9）则问题球在（3、4、8）中

第三次：再比较3和4，如果相等，则8是问题球；如果不等，则3和4偏重的那一个是问题球

b若（1、5、6）>（2、7、9）则问题球在1和7中

第三次：再任取一个标准球与1比较，如果相等，则7是问题球且偏轻；如果不等，则1是问题球且偏重

c若（1、5、6）

第三次：再比较5和6，如果相等，则2是问题球且偏重；如果不等，则5和6偏轻的那一个是问题球

Ⅲ若（1、2、3、4）

第二次：（1、5、6）VS（2、7、9）结果有三种情形

a若（1、5、6）=（2、7、9）则问题球在（3、4、8）中

第三次：再比较3和4，如果相等，则8是问题球；如果不等，则3和4偏轻的那一个是问题球

b若（1、5、6）

第三次：再任取一个标准球与1比较，如果相等，则7是问题球且偏重；如果不等，则1是问题球且偏轻

c若（1、5、6）>（2、7、9）则问题球在（2、5、6）中

第三次：再比较5和6，如果相等，则2是问题球且偏轻；如果不等，则5和6偏重的那一个是问题球

方法二将十二个球平分成三组，每组四个球

[JP3]第一次： 任取两组球分别放在天平两边，结果有三种情形[JP]

Ⅰ若天平平衡，则问题球在剩下一组中，显然还需要两次就可以找出问题球

Ⅱ若左边一组>右边一组，则问题球要么在左边一组中且偏重，要么在右边一组中且偏轻则剩下一组四个球为标准球，并且记下轻的一边记作四个轻球，重的一边记作四个重球

第二次：（重球1个+轻球3个）VS（轻球1个+标准球3个）

a若天平平衡，则问题球在剩下的3个重球中且偏重

第三次：再比较剩下3个重球中任意两个即可

b若（重球1个+轻球3个）>（轻球1个+标准球3个）则问题球是左边的重球或者是右边的轻球

第三次：再任取一个标准球与它们比较即可

c若（重球1个+轻球3个）

第三次：再比较3个轻球中的任意两个即可

Ⅲ若左边一组

第二次：（轻球1个+重球3个）VS（重球1个+标准球3个）

a若天平平衡，则问题球在剩下的3个轻球中且偏轻

第三次：再比较3个轻球中任意两个即可

b若（轻球1个+重球3个）

第三次：再任取一个标准球与它们比较即可

c若（轻球1个+重球3个）>（重球1个+标准球3个）则问题球在3个重球中且偏重

第三次：再比较3个重球中任意两个即可

方法三将十二个球平分成三组，每组四个球

第一次：任取两组球分别放在天平两边，则有两种结果

Ⅰ天平平衡

则问题球在剩下的一组四个球中，显然还需称两次即可

Ⅱ天平不平衡

则剩下一组四个球为标准球，并且记下天平轻重方向，轻的一边记作四个轻球，重的一边记作四个重球

第二次：（轻球2个+重球2个）VS（标准球3个+重球1个）则有三种结果

a 若（轻球2个+重球2个）=（标准球3个+重球1个）

则问题球在剩下的（轻球2个+重球1个）中

第三次：（轻球1个+重球1个）VS（标准球2个）则有三种结果

①若（轻球1个+重球1个）=（标准球2个）则剩下的轻球1个是问题球；

②若（轻球1个+重球1个）>（标准球2个）则问题球是重球1个；

③若（轻球1个+重球1个）

b 若（轻球2个+重球2个）>（标准球3个+重球1个）

则问题球在左边的重球2个中，且问题球偏重

第三次：直接比较重球2个即可

c若（轻球2个+重球2个）

则问题球在左边轻球2个或右边重球1个中

第三次：比较轻球2个，如果天平平衡，则重球1个是问题球；如果天平不平衡，则偏轻的球是问题球