卡尔曼滤波在变形监测分析中的应用

摘要：本文讨论了离散线性系统的卡尔曼滤波模型的建立并进行模拟试验，研究表明，卡尔曼滤波方法可以很好的消除监测数据中的随机噪声，实现对变形量的有效提取。

关键词：卡尔曼滤波；变形量

中图分类号： TN931 文献标识码： A 文章编号：

引言

卡尔曼滤波是当前应用最广的一种动态数据处理方法，它把变形体视为二个动态系统，具有最小无偏方差性。将一组观测值作为系统的输出，可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态，动态系统由状态方程与观测方程来描述，以监测点的位置、位移速率、加速率参数为状态向量。它的滤波方程是一组递推计算公式，计算过程是不断预测、修正的过程，在求解时不用保留己用过的观测值序列，当得到新的观测数据时，可以随时修正新的观测值，便于实时处理观测成果，把参数估计与预报有机的结合起来，特别适合变形监测数据的动态处理。

离散线性系统的卡尔曼滤波

设随机线性离散系统的方程为:

（1）

（2）

式中 为时刻状态向量；为状态转移矩阵；系统噪声矩阵；为时刻的系统噪声；为时刻观测向量；为时刻观测矩阵；为时刻观测噪声。

卡尔曼滤波要求和是互不相关的零均值的白噪声序列,随机模型为：

,（3）

（4）

式中和分别称为系统噪声和观测噪声的方差矩阵, 是Kronecker函数,满足=1, =0(k≠j)。

卡尔曼滤波方程为:

1.状态预测:

（5）

2.方差迭代:

（6）

③状态估计:

（7）

④方差预测:

（8）

⑤滤波增益:

（9）

⑥初始状态条件:

，

由此可见，卡尔曼滤波方程是一组递推公式，其计算过程是一个不断预测、修正的过程。首先根据前一时刻的状态估计,由状态方程求出观测时刻的一步预测值;然后,根据当前时刻的实时观测值和验前信息，计算出预测值的修正值,从而求出最优估计。

3 算 例

在某工程中选取如图1GPS网，首先用三台GPS接收机测试两期（第一期将接收机安置在控制点上，第二期除I038点外都做一个微小的变动），该网经外业质量检查和空间无约束平差,其质量合乎要求，将这两期的数据作为初始值。然后在第二期的平差坐标中，分别在40、41、42等点上加入不同的变形值，然后重新计算基线向量，这样模拟了五期GPS监测网数据。

图1GPS变形监测网

首先采用TGO解算得到基线向量和基线的协方差阵，然后利用抗差估计得到各点的抗差估计值。在得到滤波的初值之后对3-5期的模拟数据进行滤波处理，就可以得到GPS监测网的位置参数滤波值、速度参数滤波值以及位置参数和速度参数的协方差。根据协方差阵还可以判定滤波成果的精度。根据两个期间位置参数滤波值和协方差阵以及构造的统计量，可以判断发生变形的点以及形变的大小。表2列出了检验的结果（α =0.5）。

对比表1和表2可以看出，在所加的变形值的点上，利用卡尔曼滤波的变形值和模拟值最大相差5.3mm（WGS-84坐标系）。如考虑模型误差，则可以认为利用卡尔曼滤波计算的变形值和实际值比较吻合。

4结论

卡尔曼滤波是一种对动态测量系统进行实时数据处理的有效方法，本文通过对某一变形监测工程的动态监测数据进行卡尔曼滤波处理和分析，说明卡尔曼滤波可以实时、快速地处理动态变形监测数据，能够很好的消除监测数据中的随机噪声，实现对变形量的有效提取。由于在实践中，卡尔曼滤波系统存在模型误差及计算机有限字长的限制等原因导致滤波发散，这将是今后的一个研究方向。

参考文献：

[1] 付梦印. Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用[M].北京:科学出版社，2003

[2] 陆付民.卡尔曼滤波法在大坝变形分析中的应用[J].勘查科学技术，2002，

[3] 胡静.基于卡尔曼滤波的大坝监控统计模型研究[D].西安:西安理工大学，2007

作者简介: 姚志军（1987-），男，山西运城人，长安大学地质工程与测绘学院2011级研究生，主要研究方向位错理论。