求二元表达式范围的三种基本策略

二元表达式是指含有两个变量的表达式，通常记为f（x，y），有关二元表达式的值域、最值问题是常考题型，由于此类问题蕴含了丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，强化解题能力是非常有利的.此类题通常有三种方法：一是直接利用基本不等式求解；二是把二元函数问题转化为一元函数问题求解；三是利用二元表达式的几何意义并数形结合求解.下面通过具体例子说明.

一、 利用基本不等式

例1 （2010年浙江省数学高考文科试题）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是

分析 由已知可以发现，这里的x，y是不确定的，尽管它们相互制约，但是仍然可以看成是一个双变量问题.xy本身在已知中存在，而在已知中还有变量2x，y，如何寻求它们之间的关系就成了解决本题最关键的地方.联想到基本不等式：2x+y≥22xy，因此xy-6=2x+y≥22xy.令xy=t，得t2-22t-6≥0

解得t≥32，从而xy的最小值为18.

评注 这是求二元表示范围的重要方法，使用时要注意“一正、二定、三等”.

二、 把二元函数问题转化为一元函数问题

1. 反解减元

例2 已知函数f（x）=|2x-3|，若0

分析 由f（x）=|2x-3|得图像知，函数在区间-∞，32上单调递减，在区间32，+∞上单调递增.

由f（2a）=f（b+3）知，|4a-3|=|2b+3|，即2a+b=0.于是T=3a2+b=3a2-2a，这样原二元问题就转化一元表达式的最大值.0

评注 一般地，题目中有所求二元变量的等量关系，且能用其中一个表示另外一个，通常可以用反解减元将二元问题转化为一元问题，同时要注意对变量隐含条件的挖掘.

2. 整体换元

例3 （2012苏州高三二模）设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，

则m4-n4m3n的最小值为.

分析 考虑到一元一次不等式的特点，把端点代入满足，得到2≤m≤34n-1，所以4≤n≤6，又m≥2，所以0

所以y=1t-t3在0

3. 三角换元

例4 若不等式x+y≤k2x+y对任意正实数x、y恒成立，求实数k的取值范围.

分析 此题很容易在分离参数以后，求（x+y）2x+y的最大值时会遇到困难，但考虑到x、y是正实数，且2x2x+y+y2x+y=1，所以设2x2x+y=sin2α，y2x+y=cos2α，其中0

sinα+cosα=62sin（α+φ）（tanφ=2），因为62sin（α+φ）的最大值是62，所以k∈62，+∞.

评注 一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用三角换元法.

例5 已知实数x，y满足2x2-2xy+y2+4x≤12，求2x-y的最值.

分析 由2x2-2xy+y2+4x≤12，可得（x-y）216+（x+2）216≤1.设x-y=4rcosθ，x+2=4rsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ

评注 已知Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（≤0），求目标函数z=f（x，y）的取值范围或最值，这类问题在高考中频繁出现.此类问题一般也通过三角换元处理比较方便，我们可以把约束条件转化为

（ax+by+c）2M±（dx+ey+f）2N=1（≤1）的形式，然后通过三角换元，用三角函数表示出x，y.这样，就把目标函数z=f（x，y）转化成了三角函数求取值范围或最值问题，大大简化了解题过程.

三、 利用表达式的几何意义

1. 利用直线的截距

例6 （2012山东）已知变量x，y满足约束条件x+2y≥22x+y≤44x-y≥-1，则目标函数z=3x-y的取值范围是.

分析 做出不等式所表示的区域，平移直线y=3x，当直线经过点（2，0）时，直线y=3x-z的截距最小，此时z最大为z=6，由4x-y=-12x+y=4，解得x=12y=3，当直线经过点12，3时，直线截距最大，此时z最小，此时z=3x-y=-32，所以z=3x-y的取值范围是-32，6.

2. 利用两点的斜率

例7 已知实数x，y满足（x-6）2+y2=9，则u=yx-1的最大值是.

分析 点（x，y）满足圆的方程，而yx-1正好看作是圆上的点与（1，0）连线的斜率.如果把（x，y）视为动点，则yx-1的最大值和最小值正是由（1，0）向圆所引的两条切线的斜率.由已知得（x-6）2+y2=9，圆心（6，0），半径为3，设y=k（x-1），即kx-y-k=0，由直线与圆相切，得|5k|1+k2=3，解得k=±34，u=yx-1的最大值为34.

3. 利用两点的距离

例8 已知对于一切x，y∈R，不等式x2+81x2-2xy+18x2-y2-a≥0恒成立，求实数a的取值范围.

分析 x2+81x2-2xy+18x2-y2-a≥0恒成立a≤（x2+81x2-2xy+18x2-y2）min.因为x2+81x2-2xy+18x2-y2=x2-2xy+y2+[9x2+18x2-y2+2-y2]-2=（x-y）2+9x+2-y22-2，

可视为曲线C1：xy=9上任意一点Mx，9x到曲线C2：x2+y2=2（y≤0）上任意一点N（y，-2-y2）的距离的平方减去2，结合两者的位置关系，|MN|min=22，所以x2+81x2-2xy+18x2-y2-a的最小值是6，实数a的取值范围为（-∞，6].

评注 以上三题都是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现.由所问的问题的表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.

总之，二元表达式的值域和最值问题的处理应在考虑到到题中条件的基础上，注意表达式的结构特征，合理选择方法求解，通过有效的针对训练，掌握常见题型的思维方法，多体会，才能做到真正理解和掌握.