金融风险度量工具VaR和ES的比较分析研究

中图分类号：F832 文献标识：A 文章编号：1009-4202（2010）11-056-02

摘 要 深受各金融机构及管理者青睐的VaR存在致命的缺陷――不具有次可加性，而ES风险测度则满足一致性条件，且配合极值理论的发展，成为最具潜力的风险度量工具。

关键词 金融风险度量 VaR ES 一致性风险度量

一、引言

近二十多年来，由于受经济全球化、现代金融理论及信息技术等因素的影响，全球金融市场迅猛发展。这导致各国金融市场的开放程度不断加深，资本在全球范围内大量、快速地自由流动。风险特性不同的各类资本在全球金融市场的重新配置、重新组合，极大地改变了全球金融市场的运行方式和风险表现，金融市场呈现出前所未有的波动性。同时，金融机构为规避金融风险、提高竞争力、逃避管制而展开的金融创新活动，在管制放松和技术进步的刺激下异常活跃。金融创新导致了高风险衍生金融市场的快速扩大，而衍生产品本身就是金融市场风险加剧的产物，虽然其目的在于对基础金融资产存在的各种风险进行分解、剥离、组合、定价和交易，但事实上，金融创新加大了金融市场的易变性，从根本上增加了金融动荡的可能性。一个风险因子的微小波动都有可能引起组合价值的极大震荡。从而风险管理工作者对金融风险度量工具的研究工作也就日渐成为日常工作的重点。

二、VaR与ES方法概述

（一）VaR方法概述

VaR（Value-at-Risk）的字面意思就是“在险价值”，是1994年由JPMorgan投资银行在其开发的风险管理系统 RiskMetrics中引入的，它可以对金融机构的资产组合提供一个单一的风险度量。现在VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区的银行的资本金。其定义为：在一定时期（N天）和正常的市场条件下，某一金融资产或投资组合在给定置信区间（ ）内，可能遭受的最大损失。VaR是两个变量的函数：时间展望期及置信区间。

其数学表达式为：VaR 。

其中 为金融资产或投资组合在一定时期（N天）内收益的分布函数， 为置信区间。

特别地，当金融资产或投资组合在指定展望期内服从正态分布且期望值为零时，简便公式为：VaR= 。其中 为对应于展望期的交易组合价值变化的标准差， 代表累积正态分布的反函数。

时间展望期的选取要因场合而定，如：银行交易账户中的头寸往往流通性较好，管理人员的管理行为较为活跃，就需要每天计算交易组合的VaR；而对于养老基金投资组合，管理人员会选择一个较长的时间展望期，这是因为投资组合的交易行为往往不太活跃，而且资产的流动性也不一定好，因此交易组合的价值往往每个月进行一次。

置信区间的选取涉及的因素比较多，在实际计算中所采用的置信区间往往比报告中采用的置信区间要小的多，这是因为对应于高置信区间的VaR估计会非常困难。

（二）ES方法概述

预期损失ES（Expected shortfall）也称为预期不足，是指超过VaR的那部分损失的期望，即： 。Acerbi et al.，（2001）；Acerbi and Tasche，（2002）给出了确切定义：令 为给定投资组合 的收益函数， 为收益函数 的反函数，则置信度为 的预期损失ES的表达式为：ES ，当 时，ES 。

需要注意的是：ES与条件在险价值CVaR（或尾部条件期望TCE）密切相关，但并不一致。CVaR TCE （Artzner et al.，1997，1999；Pflug，2000）。

CVaR只有在适当的情况下（如：概率分布函数 连续）才与ES一致（Acerbi and Tasche（2002）and reference therein）。

预期损失ES也是两个变量的函数，即展望期的时间长度（N天）和置信区间（ ）。

三、VaR与ES模型的比较分析研究

VaR作为一种应用最广泛的风险度量方法，能够得到国际金融理论和实业界的广泛认可，有其独有的优点：VaR的概念简单，对金融机构的资产组合提供了一个能够体现整体风险的单一风险度量，可以简单明了地衡量风险的大小，便于计算，易于进行回顾测试。

但作为一种风险度量指标，VaR存在根本的缺陷：它没有度量出超出特定分位数的损失，在比较组合风险时，不同置信度的结论可能不同；在风险控制上，某些降低VaR的措施可能会使得超出VaR部分的损失值增加，导致实际风险上升，更为重要的是，VaR不能描述风险的分散化特征，以期权组合为例：假定一个深虚值看跌期权空头和深虚值看涨期权空头均还有一天到期，且分别有4%的概率在到期日变为实值。因两个独立投资组合均有96%的可能不会发生亏损，其95%置信度下的VaR都为0，但两个头寸合并后的组合不会出现亏损的概率下降为92%，组合在95%置信度下的VaR值大于0，因此合并后组合VaR测度的风险要大于原来两个组合的风险之和。

随着风险度量一致性理论（Artzner，1999）的诞生，人们都意识到一个好的风险测度指标应该是一致性的（coherent）。用X表示以货币形式表示的价值或亏损，则一致性风险测度指标 应满足以下条件：

1．正同质性：投资组合规模增加常数 倍（ ），其风险相应增加 倍，即： ；

2．次可加性：投资组合合并后，风险不会增加，即：

；

3．单调性：如果一个投资组合的价值或亏损在任何不大于另一个组合，则前者的风险不小于后者，即： ；

4．平移不变性：投资组合增加 单位的现金，其风险相应减少 ，即： 。

次可加性的经济意义在于投资组合的分散化。VaR不满足次可加性就不能使得投资组合分散化，而VaR要想满足次可加性就必须满足两个条件：（1）投资组合的价值是风险因子的线性函数；（2）风险因子的分位数能够包含其分布的所有特征。Embrechts（2001）证明，只有风险因子的联合分布服从椭圆分布才可满足第二个条件。

对于ES，由于 ，当风险因子的分布为离散分布时，假定随机变量X有n个实现值{ } （n足够大），将其从小到大排序，得到{ } 。选择置信度 ，令 ，则VaR为第 个实现值、ES为最差的 个实现值的平均值。VaR= ，ES= 。

如果n确定，对于随机变量X、Y及X+Y有：

ES（X+Y）=

即离散变量的ES测度具有一致性。当变量连续时，我们知道ES就是CVaR，Artzner（1999）已经对CVaR的一致性做出了严格的数学证明，因此ES同时具有一致性和实用性，是一个良好的风险度量工具。

四、结论

风险测度是风险管理和投资决策的基础。ES具有一致性的原因在于，其测度中较大亏损值的权重不小于较小亏损值的权重，弥补了VaR容易低估极端风险的缺陷。但ES的计算较VaR复杂，这是因为在ES的定义中会涉及到VaR这个参数，而这个参数又是内生的，在实际的计算过程中ES的值可以通过构造辅助函数来计算得出，这种方法可以在不先求得VaR的情况下得出。因此ES相比其他具有一致性的风险测度而言，实践难度较小，这使得ES成为近年来最有潜力的风险测度方法，而极值理论更为它的应用前景拓展了新的空间。

参考文献：

[1]Artzner P.,F.Delbaen, J.M.Eber and D.Heath,Coherent measure of risk.Mathematical Finance.1999.9(3):203-228.

[2]Acerbi C.,C.Nordio and C.Sirtori, Expected shortfall as a tool for financial management,Working paper,Abaxbank, Milano.2001.

[3]Acerbi Carlo,Spectral measures of risk:A coherent representation of subjective risk aversion,Journal of Banking ＆Finance.2002:1505-1518.

[4]张晓蓉,徐剑刚.VaR_ES与一致性风险度量.