几何动艺――生活中的数学美

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0133-02

几何动艺是利用在几何上可描述的形状，如三角形，矩形，圆等所组成的构件，结合物理里的平衡原理，通过构思，建立数学模型，定量计算得到联结数据，把每个构件联结起来，创造一件艺术品的学科。

中国科学院院士郭慕孙先生（Mooson Kwauk，1920生人）毕业于美国普林斯顿大学，是该校的化工硕士，同时又是中国几何动艺的先驱。2011年6月，几何动艺实验室正式在北京市第二中学挂牌成立。笔者有幸成为20位同学中的一员。郭慕孙院士在挂牌后的几个月里，三次光临并亲自指导，并聆听了本文作者所在组别制作的作品――“苹果的力量”（详见3.3苹果的力量）――的报告。本文介绍数学思想及方法在几何动艺中的运用，同时展示一些几何动议的作品，展示生活中的数学美。

1.几何动议作品的要求与特色

所使用板的形状必须在几何上可以描述；“七巧板”似的裁切下料，尽可能不浪费材料，组件能拼回原状；动艺部件的平衡需利用物理平衡原理，建立数学模型，强调学科之间的交叉；室内陈列，要求观看者的呼吸和身体运动足以启动作品。

2.几何动艺要求的数学思想与能力

几何动艺，顾名思义，是用几何知识制作的艺术作品。在此阐述一些我在制作中发现需要的数学思想与能力。

2.1基础思想与能力

2.1.1数学建模

几何动艺充分地借鉴了数学建模思想。数学建模中： 根据实际情景提出问题、设计数学模型，计算出数学结果，根据实际校验，如果符合实际得出结果；如果不符合实际，重新提出问题。在几何动艺中，这一过程为：根据构想的几何动艺作品提出构思设计、数学定量计算，计算出连结点数据，根据剪裁连结调试的结果，如果平衡且符合设计初衷则作品诞生；如果不符合实际，重新构思作品。如图1：

2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心

找到基本几何形体的质心，是几何动艺中最重要的一步，没有这一步会导致最终成品的不平衡也就等于制作失败。几何动艺作品目前进行研究的是一维或二维的几何形体（板、线）构成的，三维几何体正在计划研究中，所以我们把一个成型的部件的质心看作其对应的一维或二维的几何形体的中心。这里阐述几种基本几何形体的质心寻找办法。

（1）线（实际为棍）：线是在几何动艺中最简单的，可描述的几何形体，其质心即线的中点。

（2）三角形：三角形是比较简单的，其质心即三条中线的交点。

（3）平行四边形：平行四边形的质心即对角线交点。

2.1.3测量时的估读

测量值越精确意味着制作出来的作品一次成功的几率越大。

测量结果一般是由直尺，三角板，量角器，圆规，游标卡尺得出的。其结果往往保留到最小分度值位，即1.0mm或0.5mm。这么保留的原因在于为穿线打孔时打出来的孔一般直径为0.5～1.2mm。这一小孔所造成的质量减少，几何形体变形加之最小分度值测量差，会导致测量结果与实际结果相差0.0～2.0mm左右。这一误差导致的力的偏差正好是可以由悬挂线与几何形体间摩擦力所平衡的。

2.1.4基础数学计算

基础数学计算，加减乘除是必需的。在此基础上，要求适当的估算，不仅为了方便计算，甚至有些情况下可以更精确。

需要掌握的数学基础还包括各种函数的图像，简单的微积分等知识。如《几何动艺（Geometric mobiles）》一书中的作品：对数半旋、扭毯等。

2.2技巧性的思想与能力

为了制作更好的几何动艺作品还要求更多的数学思想与能力。

2.2.1几何形体原料拼装――节约材料

郭慕孙院士在书中的“制约条件”一部分中提到“‘七巧板’似的剪切下料，尽可能不浪费材料，组件能拼回原状。”这种方法我们称作“七巧板法”。

充分利用这个原理的作品有“阶梯”。在此作品中需要四个L形板和一个较小的正方形板。于是为了节省材料，在一个大的正方形板中如下图2剪裁方式。

如此一来，在节省下料的同时又充分的发挥了几何学知识。一举两得。成品见于“3.2基础练习2――阶梯（郭慕孙院士新作，未收录在书中）”。

2.2.2如何找到单个、复杂或多个平面几何形体的质心

计算一个不规则物体的质心，其基础就在于将一个复杂的、不规则的物体分割为若干个规则的、容易描述的物体。而在几何动艺作品中，常常运用的是平面几何形体，即找到一个几何形体的质心。

例如：计算一个不规则四边形ABCD的质心G。

如图3，任意四边形ABCD，连结BD，在“2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心”阐述过三角形质心的寻找，所以我们找到BCD和ABC的质心，并设BCD的质心为O1，ABC的质心为O2，则四边形ABCD的质心一定在直线O1 O2上。

于是我们引入一个物理学上的公式，这个公式是基于杠杆原理的，叫作“和质心公式”。

x=■

我们在直线O1 O2上任取一点O，设O1 O =x1，O2 O=x2，四边形ABCD的质心G与O的距离OG=x，SBCD =S1，SABC =S2。在“2.1.2如何找到基本平面几何形体的质心”中阐述过，我们已经将一个实际的部件看作了一个一维或二维的几何形体，那么我们就可以用这个几何形体的面积来替代它的质量。则得到：

在设计自主创新作品“苹果的力量”时，我们大量地运用了这种方法。此外我们还运用了更高一级的方法――负质量法，顾名思义，即缺少的质量我们记为负值。在几何动艺中，即将缺少的面积记为负值。质量或面积为负值意味着其作用效果与其对应的正面积或正质量的作用效果是相反的。

如图4为一个半径为R的O1中缺失了一个半径为r的O2。 设O1为O，GO=x，O1 O2方向为正，解得：■即G在O1负方向与O1距离为x=-■的位置上。

（原始计算时在图后）

原始计算式为：

x=-■

当一个几何形体过于复杂时，我们经常利用计算机将其分为无数个无限小的正方形，计算它们的和质心。

若既计算庞大，又无计算机，我们可以用“悬线法”。即将一个不规则部件用一根线挂住静止，沿线向下划一根延长线。则质心一定在此延长线上。再将部件换一个不在此延长线上的悬挂点，重复上述步骤。得到两根线，其交点为质心。如图5。

2.2.3找规律与规律的应用

找规律即根据等比数列、等差数列递推数据。属于技巧类。如当算出一列数据为1，3，5，7，9，我们即可知道后面的数据为：11，13，15，17……；算出一列数据为1，2，4，8，16，我们即可知道后面的数据为：32，64，128，256……。

2.3多元的思想和能力――基础物理概念、创新思维

在前面的几个模块已经多次引用了物理学上的原理，建立在数学理论上的物理是解决实际问题的最好工具，在此便不加赘述。几何动艺涉及到的学科不仅仅是物理，如何让几何动艺作品看起来更加好看，更加美观，这就需要美术，劳动技术等等学科的参与，几何动艺作品的目的不是为了运用数学原理而运用，它应当是美的。

创新思维是几何动艺的核心思想之一，初期我们模仿郭慕孙院士的作品，并取得了成功，紧接着就着手自主创新几何动艺作品，在接下来的“3成品展示及简述”会介绍两个模仿作品和两个创新作品。

3.成品展示及简述

以下的作品均由我所在的小组所共同制作，成员是：王子超、吴穗雯、彭诚、彭博、王潇欧；指导老师：张改莲、姜则善。

3.1基础练习1――掩护（郭慕孙院士发明，《几何动艺》P76～P88）

如图6，掩护即运用了三角形的质心求法。将6～8个三角形摆成一个漂亮的弧线。我们还可以根据三角形的底边长来决定作品的弧线旋转方向和部件三角形的“胖瘦”。如图7。

3.2基础练习2――阶梯（郭慕孙院士新作，未收录在书中）

如图8，阶梯中充分利用了“七巧板法”。在“2.2.1几何形体原料拼装――节约材料”已经作为例子阐述。

3.3拓展练习――苹果的力量（自主创新）

如图9，苹果的力量是近期制作的最复杂的作品，其部件是由很多个圆与圆的渐近线围成的。制作时利用了复杂几何形体求质心，负质量法，微积分等多种原理。由于计算过于复杂，我们利用了计算机。

3.4最新作品――雷霆（自主创新）

如图10，雷霆是最近期的作品，较“苹果的力量”更简单，但是充分利用了“七巧板法”与复杂几何形体求质心。设计图如图11。

4.结语

几何动艺是由郭慕孙院士从美国的动态艺术产生灵感而创立的。郭院士一直与其一名学生和一名助手钻研几何动艺，后来北京二中也参与了进来，挂牌成立了“几何动艺研究室”，但是一个学校与一个院士和他的团队的力量毕竟是不够的。几何动艺还需要更多的人来发展，如把几何动艺发展到建筑学中去，把几何动艺演变到生活的装饰品中去，这些还都需要更多的人来参与。

参考文献：

几何动艺 GEOMETRIC MOBIL

ES/郭慕孙 Mooson Kwauk.―北京：科学出版社，2008。

特别鸣谢：

北京二中几何动艺社团的同学、老师以及2010航班组全体成员。