导数教学中的函数概念再教学

导数与函数有着莫大的关联，导数的教学又在函数之后，因此可以认为函数是理解导数的基础，没有函数就不可能理解导数；反过来，导数的教学又可以丰富和深化我们对函数的理解和认识，使我们对函数的理解能够得到升华，也更有利于导数的学习.那么如何结合两者更有效地教学呢？

一、导数教学中对函数概念的再认识

导数，即导函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，为什么这么说呢？首先要看一下高中数学中对导数的定义.我们首先定义一个函数y=f(x)在点x0处可导，且x0处有唯一的导数f(x0)，然后定义函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数f(x0).根据函数定义，在开区间(a,b)内就构成了一个新函数，这个新函数就是导数.此处提到了根据函数的定义，那么函数的定义或者说函数的概念又是什么呢？

函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应.精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数.对应法则和定义域是函数的两个要素.

由于函数的学习在高中阶段要远早于导数，因此这样旧话重提，不但是一种对函数概念简单的复习，而且结合着导数的定义，我们对函数的概念又有了新的认识.因为学习函数的时候，我们已经习惯了将函数的定义域局限于一个集合里面，定义域中的任意数都对应着它的唯一值，而没有想到过，当将定义域缩小到某一个连续可导的区间时，会产生一个全新的函数，而且这个全新的函数拥有函数的一切特性，也遵循着一一对应的法则.通过这种定义层面的对比与教学，我们在导数的教学过程之中，就实现了对函数概念的再认识.

二、导数教学中对函数性质的再教学

1.导数与函数的图像

导数在物理上有着应用价值，在几何上同样有意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即：k=tanα=f(x0).相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).这就将导数与函数的图像联系了起来，导数在有关函数图像解题上的运用，既丰富了函数的解题方法，也深化了我们对导数与函数相互关系的理解.

结合具体的题目进行讲解：

已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx，且直线l与曲线C相切于点(x0,y0)(x0，0),求直线l的方程及切点坐标.

在求解这道题目的时候，首先引起我们注意的是“相切”这个词眼，自然而然我们会想到导数.将曲线C的方程还原为一个函数，那么这个题目就转变为求函数在某处的导数这个简单的问题.

2.导数与函数的单调性

用导数来确定函数的增减区间相对于学习函数单调性时所采用的定义法和图形法，更为直接，更为简便.导数的引入，使函数的单调性在另一个层面得到了体现，也为我们判断函数的单调性提供了一个更加快捷的途径，也便于我们更好地理解函数的性质.函数的单调性也称为函数的增减性.通常的在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f′(x)

已知函数f（x）=4x+ax2-23x3（x∈R）在区间［-1，1］上是增函数，求实数a的取值范围.

题目中已经给出了函数的单调性，要求得出某个未知数，那么可以将利用导数求解函数单调性步骤反过来运用，由已知推算未知.

3.导数与函数的极值

函数的极值，即函数的极大值与极小值，通常对应着函数图像的对称轴.在导数引入之前的求解之中，一般是首先确定函数的单调性与单调区间，然后利用数形结合的方法求解函数的极值.导数引入之后，函数极值的求解被很大的简化，一般步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程的所有实根；（4）检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.将函数极值的求解归结到导数的求算，利用的是在函数的图像中，极大与极小值处切线的斜率为0.这一点实现了函数性质与导数几何意义的完美对接.