解“一元一次不等式(组)”错误面面观

一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是《一元一次不等式》中的重要内容之一，同学们在初学一元一次不等式的解法时，难免会出现这样或那样的错误.现列举一些常见错误，并作出剖析，请同学们引以为戒.

一、 不能正确把握不等式的性质，导致解答错误

例1 解不等式：4x-6

【错误解答】移项，得4x+x

合并同类项，得5x

所以不等式的解集为x

【错因剖析】在移项时，将单项式“-6”从不等式的左边移到不等式的右边，将“x”从不等式的右边移到左边时，没有变号.由于部分同学不能正确理解不等式的基本性质1，导致错误.

【正确解答】移项，得4x-x

合并同类项，得3x

所以不等式的解集为x

【方法归纳】解一元一次不等式的过程中，移项的依据是不等式的基本性质1，因此，移项时一定要注意变号.

例2 解不等式：■-■>1.

【错误解答】去分母，得3（x+1）-2（2x-4）>1，

去括号，得3x+1-4x-8>1，

合并同类项，得-x>8，

所以不等式的解集为x

【错因剖析】在去分母时，将不等式的两边同时乘以最简公分母6，没有根据不等式的性质2，对不等式两边各项同时乘以6；在去括号时，化简“-2（2x-4）”时不能正确应用乘法分配律.由于不能正确理解不等式的基本性质2，滥用乘法分配律，导致错误.

【正确解答】去分母，得3（x+1）-2（2x-4）>6，

去括号，得3x+3-4x+8>6，

合并同类项，得-x>-5，

所以不等式的解集为x

【方法归纳】在对所给不等式去分母时，必须根据不等式性质2，在不等式的两边同时乘以它们的最简公分母.

例3 解不等式：■-■>1.

【错误解答】原不等式可以化为■- ■>10.

去分母，得-2（40x-15）-5（8-5x）>-100.

去括号，得-80x+30-40+25x>-100.

移项，得-80x+25x>-100+30-40.

合并同类项，得-55x>-110.

系数化为1，得x

【错因剖析】将不等式中分母含有小数的项化为整数时，应用了分数的基本性质，与其他项的变形无关，混淆了分数的基本性质和不等式的基本性质，导致错误.另外，在分母中的小数化为整数和移项的过程中还出现了运算错误.

【正确解答】原不等式可以化为■- ■>1.

即（8x-3）-（25x-4）>1.

去括号，得8x-3-25x+4>1.

移项，得8x-25x>1-4+3.

合并同类项，得-17x>0.

系数化为1，得x

【方法归纳】在原不等式的变形过程中，各部分的变形是根据分数的基本性质，与其他部分没有关系，只需要分子、分母同时乘同一个不等于0的整数即可；去分母的依据是不等式的性质2，在不等式两边同乘-10时，不等号的方向必须改变.

二、 不能正确获取不等式在数轴上解集的信息，导致解答错误

例4 关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示，则a的值是_______.

【错误解答】≤-■.

【错因剖析】由关于x的不等式3x-2a≤-2，可以求得它的解集为x≤■.再由数轴可以知道这个不等式的解集为x≤-1.则■=-1，解得，a=-■.

【正确解答】-■.

【方法归纳】这类问题，首先根据不等式求得含有字母a的不等式解集，再根据数轴上的解集逆向确定不等式的解集，从而建立关于a的一元一次方程，达到解决问题目的.

三、 不能正确确定不等式的整数解，导致解答错误

例5 不等式3x-5

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【错误解答】A.

【错因剖析】由于有的同学解得不等式3x-5

【正确解答】要求不等式的正整数解，首先解出这个不等式3x-5

【方法归纳】这类问题往往先求得一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合条件的整数解.这类问题，有时还借助于数轴，在数轴上标出解集，就可找出相应的特殊值.

四、 不能正确理解不等式组解集的意义，导致解答错误

例6 若不等式组x>a，3x+23，则a的取值范围是_______.

【错误解答】a

【错因剖析】不等式组的解集就是其中各不等式解集的公共部分.不等式组x>a，3x+2a，x>3.再根据其解集为x>3，即可知道a的取值范围.有的同学由于不能正确理解不等式组解集的意义，导致解答错误.

【正确解答】由于3x+23，而原不等式组的解集是x>3，因此a≤3.

【方法归纳】不等式组x>a，x>b的解集为x>a时，则a≥b；

不等式组x

不等式组x>a，x

五、 不能从问题条件获取不等量关系，导致出现错误

例7 在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元.此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为_______人.

【错误解答】设参加这次活动的学生人数为x人，则15x

【错因剖析】由于有的同学不能准确地从实际问题中获取不等量关系，建立恰当的一元一次不等式，因而出现错误.

【正确解答】设参加这次活动的学生人数为x人，则15x≤900-300，解得x≤40，故参加这次活动的学生人数最多为40人，即本题应该填：40.

【方法归纳】解答这类问题的关键在于，根据题意准确捕捉不等量关系，建立关于一元一次不等式，再求得符合问题的结论.