相似三角形帮你解答圆问题

灵活应用相似三角形的对应边成比例的性质，可帮助同学们顺利地解答一些与圆有关的图形问题.现以近年来的中考题为例介绍，供同学们参考.

例1（北京市） 如图1，在O中，弦AC与BD交于E，AB＝6，AE＝8，DE＝4，求DC的长.

析解：在ABE和DCE中，

∠A＝∠D，∠B＝∠C，

ABE∽DCE.

=.

AB=6, AE=8, DE=4，

DC==3.

例2（贵州省安顺市）如图2，A、B、C、D四点在O上，AD、BC的延长线相交于点E，直径AD＝10，OE＝13，且∠EDC＝∠ABC ．

（1）求证：=；

（2）计算CE•BE的值；

（3）探究：BE的取值范围．

析解：（1）要证明=，只要证明CDE∽ABE即可.

∠EDC＝∠ABC，

又，∠CED＝∠AEB,

CDE∽ABE.

=.

（2）由（1）得，CE•BE＝AE•DE.

AD＝10，OE＝13，O为圆心，

AE＝OE＋OA＝18，DE＝OE－OD＝8.

CE•BE＝144.

（3）要探究BE的取值范围，应考虑与BE有关的三角形三边之间的不等关系.由于AB难求，考虑ABE三边之间的关系行不通.若连OB，则有OE－OB＜BE＜OE＋OB.

OE＝13，OB＝5，

8＜BE＜18.

例3（山东省泰安市）如图3，O的弦CE垂直于直径AB，垂足为点G，点D在CB上，作直线CD、ED，与直线AB分别交于点F、M，连结OC．

（1）求证：OC=OM•OF．

（2）把（1）中的“点D在上”改为“点D在上”，其余条件不变，如图4所示，试问（1）中的结论是否成立？并说明理由．

析解：（1）如图3，要证明OC=OM•OF，只需要证明 =，即证明OC、OM所在的OCM与OF、OC所在的OFC相似即可． 为此，应连结CM、OE．

ABCE于G，AB是O的直径，

GC＝GE，∠AOC＝ ∠COE＝∠CDE．

AB是CE的垂直平分线，MC＝ME，∠1＝∠2．

又，∠OCM＝∠AOC－∠1，

∠F＝∠CDE－∠3＝∠CDE－∠2，

∠OCM＝∠F．

∠COM＝∠FOC，

OMC∽OCF．

=，OC=OM•OF．

（2）如图4中，先连结MC、OE．要问OC=OM•OF是否仍然成立，关键在于判断OCF与OMC是否仍然相似.

ABCE于G，AB是O的直径，

GC＝GE，==.

∠CDE＝∠COB，MC＝ME，∠EMG＝∠CMO．

又，∠FCO＝∠COB－∠1，

∠EMG＝∠CDE－∠2＝∠CDE－∠1，

∠FCO＝∠EMG＝∠CMO．

∠FOC＝∠COM，

OCF∽OMC．

=，OC=OM•OF成立．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。