垂线平均含沙量两种表述方法之比较

摘要：表达沿垂线平均含沙量的方法通常有流量法与面积法两种，但在实际运用中常发生混淆。本文讨论了两种垂线平均含沙量之间的关系，指出面积平均含沙量要大于流量平均含沙量。含沙量及流速分布越不均匀，两者差别就越大，当悬浮指标Z≤0.3时两者相差不到10%。最后还对两种垂线平均含沙量的应用作了初步探讨。

关键词：悬移质 悬浮指标 流量平均含沙量 面积平均含沙量

1 问题的提出

悬移质垂线平均含沙量是泥沙运动力学中的一个重要内容，是研究悬移质输沙率与水流挟沙力的基础，同时也是研究河床变形问题的依据，在生产实践中具有重要意义。

为了研究、计算上的方便，常需考虑悬移质含沙量的垂线平均值，由于含沙量及流速分布在垂线上是不均匀的，因而存在多种垂线平均含沙量的表达方式。垂线平均含沙量的表达通常有所谓的流量法与面积法两种，它们的定义分别为[1]

S1=/

(1)

S1=1/h·

(2)

式中 S1、S2分别为按流量法与面积法计算的垂线平均含沙量(以下分别简称为流量平均含沙量与面积平均含沙量)，u、s为距河底y处的当地流量与含沙量，h为垂线水深。

两种垂线平均含沙量均具有一定的物理意义。前者S1表示的是流量加权平均值，其物理意义是单位时间内通过单宽断面的悬移质输沙率与单宽流量之比，即分部输沙率平均；而后者S2表示的是面积加权平均值，其物理意义是单位时间内通过单宽断面的沙量与单宽面积之比，即分部沙量平均。在实际应用中，两种垂线平均含沙量也各具特色，流量法由于同时考虑了流速和含沙量这两个因素，且流速为向量因素，这样求得的垂线平均含沙量S1，常用于与悬移质输沙率有关的计算中；而面积法仅考虑含沙量这一非向量因素，这样的垂线平均含沙量S2一般多用于理论研究中及一维或二维垂线平均悬移质扩散计算中。

但在一些关于悬移质泥沙运动的研究文献中，经常会出现将S1与S2混淆，甚至是相互代用的现象。例如在计算悬移质输沙率gs时，常用单宽流量乘以面积平均含沙量S2来推求，实际上此处应以流量平均含沙量S1代替S2。又如在一维悬移质扩散方程中[2]

dS/dx=-[αωs/q(S-S*)]

(3)

式中α为泥沙恢复饱和系数，ωs为泥沙沉速，q为单宽流量。式中的垂线平均含沙量S及挟沙能力S*应取S1还是S2，常出现混乱。同样在垂线平均的平面二维悬移质扩散方程中，也常有类似的混乱之处。

无论是在数学形式上，还是在物理意义上，流量平均含沙量S1与面积平均含沙量S2是两个截然不同的概念，一般不可相互代用。本文试图对这两种垂线平均含沙量之间的差异作一分析，以求能澄清某些概念上的问题。

2 流量平均与面积平均含沙量的差异

垂线流速分布采用著名的普朗特对数流速分布公式

u/U*=(1/k)·lnζ+C

(4)

或写成

u/U=［1+1/kC0(1+lnζ)］

(5)

式中 k为卡门常数，u是相对水深ζ(y/h)处的点流速，是垂线平均流速，U*为摩阻流速，C0为无因次谢才系数(C0=C/,C=/U*)。

垂线含沙量分布采用著名的罗斯公式

S/sa={ζa(1-ζa)·[（1-ζ）/ζ]}Z

(6)

式中 s为相对水深ζ处的点含沙量，sa为ζ=ζa处参考含沙量，Z=ωskU*为悬浮指标。

式(5)及(6)所表示的流速及含沙量垂线分布规律，尽管还存在一些不足之处，但由于两式的计算精度较高，且有一定的理论基础，因而得到了广泛的应用。

利用式(5)及式(6)，可得流量平均含沙量

S1=∫10usdy/∫10udy=sa[ζa/（1-ζa）]Z∫10{(1+1/kC0)·[(1-ζ)/ζ]Z+1/kC0·[(1-ζ)/ζ]Zlnζ}dζ

(7)

若令

∫10[(1-ζ)/ζ]Zdζ=J1

(8)

∫10[(1-ζ)/ζ]Zlnζdζ=J2

(9)

则式(7)变为

S1=sa[ζa/(1-ζa)Z]{(1+1/kC0)J1+1/kC0J2}

(10)

又利用式(6)可得面积平均含沙量

S2=∫10sdζ=[ζa/(1-ζa)]Z·sa∫10[(1-ζ)/ζ]Zdζ

(11)

同样将式(8)代入上式可得

S2=sa[ζa(1-ζa)]ZJ1

(12)

流量平均含沙量与面积平均含沙量之比为

β=S1/S2=1+1/kC0(1+J2/J1)

(13)

由于J1、J2仅与Z有关，因而β也仅为Z与kC0的函数，即

β=f(kC0,Z)

(14)

从数学上可以证明，函数J1与J2具有如下性质：①J1＞0,J2＜0;②｜J1｜＜｜J2｜。所以有

β=S1/S2＜1

(15)

式(5)说明面积平均含沙量永远大于流量平均含沙量。此差异完全是由流速分布的垂线不均匀性引起的。

根据文献[3]中提供的J1、J2计算曲线，可计算β与Z、kC0之间的关系，如图1所示。

从图1中可以发现β具有如下变化规律：

(1)随着Z值的增大，S1与S2相差愈大。悬浮指标Z是反映垂线含沙量分布均匀程度的物理指标，Z愈大，含沙量垂线分布愈不均匀；Z愈小，含沙量垂线分布愈均匀。所以说含沙量分布愈均匀，β愈小，反之，β愈大。

(2)随着kC0值的增大，S1与S2相差愈小。kC0实际上是反应垂线流速分布均匀程度的一个物理指标，这里称之为流速分布指标，kC0愈大，流速分布愈均匀；kC0愈小，流速分布愈不均匀。因此，流速分布愈均匀，β愈小，反之，β愈大。

图1 β与Z、kC0的关系图

Relationship among β and Z、kC0

(3)一般情况下流速分布指标kC0=5～10，而悬浮指标Z=0.01～5，因而从图中可知，悬浮指标Z对β的影响要远大于流速分布指标kC0对β的影响，即含沙量的垂线分布均匀程度对β的影响要大于流速分布均匀程度对β的影响。

(4)通常情况下，当Z≤0.3时，S1与S2两者相差不到10%，此时可近似地以S1代替S2或以S2代替S1，对计算结果影响不大；当Z＞0.3时，S1与S2两者相差较大，不可相互代用。

3 S1与S2的应用探讨

3.1 在悬移质输沙率计算中的应用

悬移质输沙率的计算，常使用下式

gs=∫h0usdy

(16)

利用式(17)，对长江下游计134条垂线进行了验证计算，结果如图2所示，其中gs计算值系用βhS2求得，gs实测值系水文测验值(根据式(16)推求)。

由图2可见，用式(17)计算悬移质输沙率有一定的精度。也就是说利用S1与S2均可计算悬移质输沙率，两者计算结果并无不同，仅是计算方法有所区别。同时利用S2计算悬移质输沙率使计算来得更为简单，从而为悬移质输沙率的计算提供了新的途径。

若以垂线平均含沙量表示，则为

图2 式(17)验证结果

Verification of equation(17)

gs=qS1=hS1=βhS2

(17)

3.2 在悬移质扩散方程中的应用

在一维及平面二维悬移质不平衡输沙计算中，都要涉及到垂线平均含沙量及挟沙力的概念。这里仅以一维悬移质扩散方程式(3)为例说明其中的垂线平均含沙量应取S1还是S2。式(3)中的垂线平均含沙量及挟沙力，使用面积平均含沙量S2或流量平均含沙量S1似无本质区别，仅要求等式两边均采用S1或均采用S2，因为两者之间仅相差一个β值，等式两边可约去。但在使用中应注意两点，其一是挟沙力S*一般均是利用实测水文资料加以率定的，而水文资料刊布的垂线平均含沙量多为流量平均含沙量S1；其二是由悬移质扩散方程求出的垂线平均含沙量沿程分布规律，大多应用于诸如下式[4]的悬移质河床变形方程中

(qS)/ x+γ′Z0/t=0

(18)

式中 γ′为泥沙干容重，Z0为河底高程。鉴于这两点考虑，作者推荐在式(3)中均使用流量平均含沙量S1，若要使用面积平均含沙量S2，则需作相应换算。

4 结语

目前泥沙研究中，通常采用的流量平均含沙量S1与面积平均含沙量S2，无论是数学表达形式，物理意义，还是具体计算结果都不相同，切勿误用。在对两者差异分析的基础上，本文认为随着悬浮指标Z的增大，两者的差别越来越大，且S2永远大于S1，当Z≤0.3时，两者相差不足10%，此时两者可近似替代，而当Z＞0.3时，两者不可相互替代。

在实际应用中，特别是一些与悬移质输沙率有关的问题及与水流挟沙力有关的不平衡输沙问题中，要特别注意垂线平均含沙量两种表述方式的选用。一般来说，选用任何一种表述方式均可，当选用面积平均含沙量时，要进行适当转换，而当选用流量平均含沙量时，只会使问题得到简化，并使计算更为方便。因此，作者推荐采用流量平均含沙量。

参考文献

1 张瑞瑾。河流泥沙动力学。北京：水利电力出版社，1989：185～203.

2 窦国仁。潮汐水流中的悬沙运动及冲淤计算。水利学报，1963(4)：13～23.

3 H.A.爱因斯坦(钱宁译).明渠水流的挟沙能力。北京：水利出版社，1956：20～22.

4 华东水利学院等四校合编。河流动力学。北京：人民交通出版社，1980：211～228.