严谨思考 规范表述

一、真题再现及试题评述

16.（本小题满分14分）

如图1，在三棱锥S-ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过A作AFSB，垂足为F，

点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：（1）平面EFC∥平面ABC；

（2）BCSA.

试题以三棱锥为载体，主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及性质定理，检验了学生的空间想象能力和推理论证能力.试题考查知识点广泛，条件简明，表述清晰，立意明确，思路明朗，有利于学生上手，使学生从紧张的填空题中走出来，缓和学生的紧张情绪，对于鼓励学生信心，促使学生进入正常思维状态有着积极作用，属于承上启下的常规题.

二、本题解法综述

1.省教育考试院的官方解答

（1）因为SA=AB且AFSB，垂足为F，所以F为SB的中点.

又因为E为SA的中点，所以，EF∥AB.

因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E，所以，平面EFG∥平面ABC .

（2）因为平面SAB平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，又AF平面ASB，AFSB，所以，AF平面SBC.

因为BC平面SBC，所以，AFBC.

又因为ABBC，AF∩AB=A，AF、AB平面SAB，所以，BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以，BCSA.

2.其他解法

本题思路单一，入口较窄，其他解法只是几个条件的不同排列而已.

（1）因为E、G分别为SA、SC的中点，所以EG∥AC.又因为EG平面ABC，AC平面ABC，所以EG∥平面ABC.因为AS=AB，AFSB，所以F为SB中点.

因为G为SC中点，所以FG∥BC.

又因为FG平面ABC，BC平面ABC， 所以FG∥平面ABC.

因为FG∥平面ABC，EG∥平面ABC，FG∩EG=G，FG、EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

（2）另解一：因为平面SAB平面SBC，AFSB ，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF平面SBC.又因为FG平面SBC，所以AFFG.

由（1）知FG∥BC且ABBC，所以ABFG.

因为AFFG，ABFG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG平面SAB.因为SA面SAB，所以FGSA.因为FG∥BC，所以BCSA.

另解二：因为平面SAB平面SBC，AFSB，平面SAB∩平面SBC=SB，AF平面SAB，所以AF平面SBC.又因为FG平面SBC，所以AFFG.

由（1）知FG∥BC且ABBC，所以ABFG.

因为AFFG，ABFG，AB∩AF=A，AB、AF平面SAB，所以FG平面SAB.因为FG∥BC，所以，BC平面SAB.

因为SA平面SAB，所以，BCSA.

三、阅卷过程中发现的主要问题

1.审题不清，书写不准，笔误导致错误

部分同学看到题中条件“点E，G分别是棱SA，SC的中点”，就想当然的把F也当做中点，以此为逻辑起点来证明线线平行.这反映了这部分同学心里急躁，审题不清，根本没把题中条件看好，平时没有形成良好的解题习惯.部分同学书写时过急，或者过于随意，例如把“AS=AB”写成“SA=SB”，或者把“面SAB”写成“SBC”，其他证明过程没有任何问题.这些丢分实在可惜，让人心疼.

2.概念不清，条件缺失，基础必须夯实

阅卷过程中发现，部分同学直接用一条直线平行于平面证明面面平行，还有部分同学利用“面面垂直性质定理”时只写了一个面面垂直，缺少“垂直于交线”这个线线垂直的条件.这些都说明了这些同学对于最基本的定理都没有掌握，何谈灵活运用.经过认真分析发现，绝大部分犯此类错误的同学不是粗心丢失条件，而是对题目考查的定理缺乏认知.这反映了这部分同学基础知识不牢，对立体几何中最基本的定理理解不到位.也给我们教师一些启示，被平时作业或练习表面繁荣遮蔽了眼睛，或者为追求进度效率而忽视了部分学习困难生.

3.谋划不全，思路混乱，逻辑推理要加强

在证明（1）的过程中，有些同学首先用“F为SB中点”作为逻辑起点证明线线平行，然后在后面逻辑段中证明“F为SB中点”.这种顺序颠倒的背后反应了学生对问题理解不深刻，分析不透彻，谋划不到位.还有的同学在证明（2）的过程中先在面SBC内向SB作了一条垂线，然后顺着这种思路往下证.虽然这种解法逻辑上说得通，但是浪费了宝贵的考试时间，而且其中部分细节值得推敲.这些情况反映了学生的推理论证能力不强，逻辑思维能力有待于进一步提高.此外，还有部分考生卷面有大篇幅的涂改、删除现象.这固然是考试时的紧张心理所致，但答题时草率上手、匆匆读完题后就急于答题、对题意不求甚解、思考不充分必然导致逻辑混乱，从而出现漏写、多写、错写等各种错误，只好大面积的涂改.这些不良的答题习惯与平时的数学复习训练不到位有很大关系.

四、对今后的教学启示

1.构建知识网络，提升思维水平

立体几何中涉及的概念、性质和定理比较多，但知识点之间的联系也比较紧密.在平时练习中要注意归纳和概括，对知识点准确把握，掌握对一类题目的常规解法，熟记定理中的每一个条件.高考复习时更要不断总结反思、强化知识体系.教师可以运用概念图或其他的知识框架帮助学生梳理知识形成系统. 笔者在一轮教学时就设计了知识框架图（如下图），带领学生通过回忆知识点，在相应的线上填上相应的定理及条件，从而加强学生对定理的掌握.同时 还应鼓励学生一题多解、善于用不同方法解题，培养学生多角度思考问题的能力，比较不同解法