残差修正Verhulst模型的复合土钉支护变形预测研究

摘要： 复合土钉支护结构在基坑支护工程领域有着越来越广泛的应用。支护结构在使用的过程中涉及到很多方面的影响因素，各种因素对支护结构体系的影响往往具有不确定性，即具有灰色特性。本文通过将非等间隔时序Verhulst灰色模型应用到预应力锚杆复合土钉支护的实际变形预测中，发现在对常规灰色Verhulst模型采用傅里叶函数进行残差修正以后，模型的预测分析效果可以得到较好的提升，可考虑将傅里叶变换用于Verhulst模型修正。在复合土钉支护的位移变形的应用分析中具有一定的参考指导价值。

Abstract： Compound soil nailing structures are becoming more and more widely used in foundation pit retaining engineering field.Supporting structure will be affected by many kinds of influencing factor， the influence of these factors is uncertain， means it has the gray character. This article tries to apply the unequal interval gray Verhulst model to the deformation forecasting of prestressed anchor compound soil nailing retaining structure， discovered this theory model has a preferable analysis effect after its definite residual correction with the Fourier transformation， Fourier transformation can be considered in using of Verhulst model correction. It will provide some reference in the using of compound soil nailing retaining structure deformation forecasting.

关键词： 灰色系统理论；复合土钉支护；位移变形预测；残差修正模型

Key words： gray system theory；compound soil nailing retaining construction；foundation pit deformation predication；residual correctional model

中图分类号：TU94+2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）21-0119-03

0 引言

复合土钉支护结构体系是在深基坑支护、边坡支护中应用很普遍的一种支护结构体系，复合土钉支护结构通过综合土钉支护结构和复合支护结构形成的复合挡土结构可以有效地弥补土体抗拉强度和抗剪强度低的弱点，同时可以改变基坑和边坡和变形和破坏特性，对于提高其整体的刚度和稳定性具有良好的作用。

基坑和边坡在开挖支护的过程中受到了基坑边坡土质、开挖深度和尺寸、周围荷载、支护结构及施工方法等多种因素的影响，很难确定用某一种原因或因素来分析其对基坑支护的确切作用。影响基坑支护工程的因素具有不确定性，即灰色特性。

灰色系统理论适用于环境系统的内部作用机制，可以将环境系统内部不明确、难以定量的灰色量以数学模型的形式提出，并运用时间序列来确定微分方程的参量。灰色预测预报把观测到的时间数据序列视为一个随时间变化的灰色量和灰色过程，通过累加生成和累减生成而使灰色量逐渐白化，从而建立相应于微分方程的模型并做出预测[1]。其实质便是通过已有的实测数据来分析数据的变化趋势和规律以用来预测未知的数据值。

1 常规灰色预测模型构建与灰色Verhulst模型原理

常规的灰色预测模型是由邓聚龙教授提出的GM（1，1）模型，模型根据原始观测数据序列这一组信息不完全的灰色量，将其进行生成处理，以提供更多的有用信息。一般通过一次累加或多次累加生成有规律的数据列，然后在生成的数据列的基础上，用线性动态模型对生成数据进行拟合和逼近，通过求解微分方程解的系数而得出具体的预测函数表达式。

微分方程的解是

x（m）（t+1）=[x（m-1）（1）-■]*exp（-a*t）+■（1）

然后再进行累减生成还原后，得到预测数据，也可根据具体情况，对模型进行修正，以提高模型的应用效果[2]。

Verhulst模型是由荷兰数学家Verhulst首先发现的，它在生物繁殖、人口增长等过程的描述和分析中有广泛的应用[3]。Verhulst模型属于单序列一阶非线性数理统计动态模型，其基本思想是将监测得到的离散的、随机的原始位移-时间序列，经过累加处理，得到一个累加生成序列，根据该序列建立模型进行计算，最后将模型计算值进行累减还原后即可得到变形预测值[4]。模型进行一次累加的目的是削弱原始数据中随机项的影响，这也是灰色理论不同于需要大量样本进行数据分析研究的统计理论的特点[5]。

Verhulst模型通过采用最小二乘法和极值原理求出方程中的参数a和b后，代入模型中可以得到该模型的唯一解为

x（1）（t+1）=■（2）

根据时间序列即可求出累加变形解序列，再经过累减可得到变形解序列。

2 非等间隔时距的处理问题[3，6，7]

在具体的工程实践中，由于受到施工等各方面的因素的影响，可能导致不能获得等时距的变形观测数据，而灰色模型要求建模数据必须为等时距的，为此，必须建立非等时距的灰色预估模型，其建模的方法与等时距序列的建模方法基本相同，不同之处在于数据的等时距处理和非等时距模型值的还原生成上。对于Verhulst灰色模型，本文采用：

■（1）（ti）=■（3）

再通过对累加预测值的累减而得到不同时间的变形预测值。

3 残差修正[8]

当灰色模型的预测结果不能满足精度要求时，应用最多、最有效的方法就是对残差序列进行修正。傅里叶变换提供了一个很好的数学工具，运用傅里叶变换对灰色模型的预测残差进行修正，可以补偿系统的随机误差，提高预测精度。具体的修正方法是首先建立残差序列，然后利用傅里叶公式将残差序列近似表示为：

■（ti）=■a0+■[ancos（wjti）+bnsin（wjti）]（4）

然后将实测数据代入■（ti），经过对j反复取值运算，对应j的取值使得拟合值的累积残差值最小。预测值的最终表达式为：

■（ti）=■（ti）+■（ti）=■0（ti）+■a0+■[ancos（wjti）+bnsin（wjti）]（5）

4 模型案例分析

4.1 工程概况 湖南某拟建基坑支护工程设置二层地下室，基坑开挖深度为7.50-9.00m，场地地貌单元属于丘陵，原始地貌为水塘间稻田，场地较平整。与本次基坑设计有关的地层依次为填土、耕植土、淤泥质粉质粘土、粉质粘土、全风化砾岩、强风化砾岩。根据场地地质情况、周边环境等条件，本基坑边坡部分坡段采用预应力锚杆复合土钉墙进行支护。基坑按临时支护考虑，设计使用年限为2年。本基坑支护高度为7.50-9.00m，安全等级为二级。

选取基坑支护部分坡段观测时间2个月基坑水平位移观测数据作为分析数据，该段支护坡段主要采用预应力锚杆复合土钉支护结构体系进行边坡支护。

4.2 数据分析 按照已获得的实测数据序列，采用非等间隔时序Verhulst模型进行数值分析。计算中进行数据序列的等时距处理。采用常规Verhulst灰色模型进行分析处理，根据模型的分析精度情况用修正函数对模型残差进行修正，建立残差修正模型。取前7组数据开始，根据工程实际中获取数据进度，依次往后进行递进分析。

根据观测数据建立常规的Verhulst模型，则可得到如下所示的结果：

经计算，常规Verhulst模型1的预测参数a=0.5063，b=0.0021。常规Verhulst模型2的预测参数a=0.4926，b=0.0019。常规Verhulst模型3的预测参数a=0.4644，b=0.0017。

由表1可以看出Verhulst模型基本上反映了位移变化的基本规律，但是具体的预测值和实际的观测值仍旧存在一定误差，因此，有必要对该预测模型进行修正，以进一步提高其精度。

根据原始模型的残差变化的波动性规律，采用傅里叶函数进行残差修正。

经计算，常规Verhulst模型1的傅里叶修正参数为a0/2=5.016，a1=-0.7178，b1=3.209，a2=-0.9679，b2=-6.351，a3=-4.078，b3=-0.1895，w=0.2795。常规Verhulst模型2的傅里叶修正参数为：a0/2=5.693，a1=0.309，b1=3.207，a2=-2.670，b2=-8.000，a3=-6.061，b3=-0.606，w=0.276。常规Verhulst模型3的傅里叶修正参数为：a0/2=6.834，a1=1.940，b1=2.674，a2=-5.562，b2=-9.052，a3=-8.774，b3=-2.967，w=0.275。

支护结构的位移在工程初期增长较快，随着工程的进行，位移增长速度放缓，并逐渐趋向稳定。Verhulst模型反映了基坑工程的这种规律，但在具体的数值上还是存在一定的误差，而通过采用傅里叶函数来修正模型，使得模型的精度提高并接近真实值。经过分析可知，修正后的Verhulst模型相比未经过修正的模型而言可以更好地拟合原始数据序列。

4.3 讨论 通过以上的数表分析过程，发现Verhulst模型在具体的复合土钉支护结构体系的位移预测中的使用具有如下一些特征：首先，由于工程实践中的条件所限，无法做到完全按照等间隔时距对相关参量进行观测，因此，应该采用非等间隔时序模型对实际情况进行分析。其次，在预测初期阶段，模型的预测值体现了与工程实际的观测值相似的发展变化趋势，差距较小，但随着时间的延长，对于未来长时间的观测，模型的预测值与实际的观测值则存在着一定的差距，实际的观测曲线到后面逐渐趋向于稳定，预测值则仍显示出一定的波动特性，而且，由于模型本身的原因，其预测效果会受到变形规律的影响，对此在分析的过程中引入合适的修正函数来对原有分析函数进行补充和修正以提高模型整体上的分析效果是必要的。最后，由于工程实践是一个不断发展的过程，因此需要合理地选用新的实测数据来进行模型的预测分析，通过不断调整模型的参数，来逐渐修正模型和提高模型的预测效果。

5 结论

复合土钉支护结构对于基坑支护具有较好的效果，对其位移的变形规律进行分析和有效的预测对于指导工程实践具有积极的意义。采用灰色Verhulst模型进行结构体变形分析时，在具体的工程实践中，由于获取数据不一定是等时序的，而常规灰色模型理论一般要求是等时序的数列，因此应该采用非等时距的模型分析方法。由于模型本身的局限性，考虑到工程实践的复杂性和分析理论的单一性，当模型不能很好地达到分析要求的精度时，可以考虑采用基于原始数据或者其残差的数理函数来对模型进行修正，以进一步提高整个数学模型的分析效果，本文考虑到原始模型计算值与原始值的残差具有波动的特性，而采用傅里叶函数来对原始模型进行修正，结果表明分析效果良好，对于修正原始模型和提高原始模型的精度有较好的帮助。在具体的实践中，由于工程是分阶段进行的，所以，对于工程的分析也应该考虑根据工程进度逐步进行分析，以提高分析的效果。

灰色Verhulst模型在数学预测方面具有其自身的优越性，所需的样本数据较少，通过对模型进行必要的修正，可以较好地提高模型的预测效果，在实际的复合土钉支护工程实践中可以发挥相关的指导作用。

参考文献：

[1]刘积魁，方云，王永忠.灰色新陈代谢GM（1，1）模型在土钉支护结构变形预测中的应用[J].水利与建筑工程学报，2007，5（4）：113-116.

[2]熊和金，徐华中.灰色控制[M].北京：国防工业出版社，2005.

[3]付宏渊，高速公路路基沉降预测及施工控制[M].北京：人民交通出版社，2007.

[4]宋彦辉，聂德新.基础沉降预测的Verhulst模型[J].岩土力学，2003，24（1）：123-126.

[5]常方强，涂帆，贾永刚.Verhulst模型在预测软基路堤沉降中的应用[J].岩石力学与工程学报，2007，26（增1）：3122-3126.

[6]廖展宇，李英，晏鄂川等.非等间隔时序灰色模型的深基坑变形预测研究[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2009，32（10）：1522-1525.

[7]偶昌宝，俞亚南，王战国.不等时距灰色Verhulst模型及其在沉降预测中的应用[J].江南大学学报（自然科学版），2005，4（1）：63-65.

[8]张仕新，陈春良，刘义乐等.基于残差修正的非等时距GM（1，1）模型及其应用[J].数学的实践与认识，2012，42（20）：75-81.

[9]曾庆响，肖芝兰.灰色系统理论在土钉支护变形预测中的应用[J].建筑科学，2001，17（5）：37-40.