小议平移公式的应用

平移公式x1=x+h,y1=y+k反映了图形上的每一点在平移后的新坐标(x1,y1)与平移前的坐标(x,y)之间的关系,利用这一公式可以求出平移前后点的坐标,平移向量、平移前后函数的解析式及曲线中的相关问题.

一、求点的坐标

例1 (1)把点A(1,3)x按向量a=(1,-2）平移到点A1处，求点A1的坐标.

(2)将点B按向量 a=(1,-2)平移后,得到点B1的坐标为(-1,1)，求点B的坐标.

解:(1)由平移公式直接得(x1,y1)=(1,3)+(1,-2)=(2,1),即点A1的坐标为(2,1).

(2)由平移公式得(-1,1)=(x,y)+(1,-2),进而有(x,y)=(-1,1)-（1，-2）=（-2,3）,即点B的坐标为（-2,3）.

评注：求平移前点的坐标就是求平移公式中的x和y,求平移后点的坐标就是求平移公式中的x1和y1．

二、求平移向量

例2 (1)若点C(3,4)按向量a平移后,得到点C1的坐标为(1,-1）,求a.

(2)函数y=32x-4的图像按向量a平移后,所得图像的解析式为y=32x,求a.

解: (1)由平移公式得(1,-1)=(3,4)+(h,k), 进而有(h,k)=(1,-1)-(3,4),即a=(-2,-5).

(2)设向量a=（h,k),点A(x,y)是函数y=32x-4图像上的任意一点,平移后,函数y=32x图像上的对应点为A1(x1,y1),则有y1=32x1,由平移公式x1=x+h,y1=y+k有y+k=32(x+k),整理得y=32x+2k-k,它与函数y=32x-4为同一个函数.

2h=-4,-k=0,解得h=-2,k=0,即a=(-2,0)．

另解∶由y=32x-4得y=32(x-2),令y1=y,x1=x-2,则原函数解析式变为y1=32x1,它与函数y=32x应该为同一个函数.

所求的向量为a=(-2,0).

评注:知道了平移前后点的坐标或平移前后函数的解析式,根据平移公式就可以求出平移向量.

三、求函数解析式

例3 (1)将函数y=f(x)的图像按向量a=(-2,1)平移后,得到的图像的解析式为y=2x2+8x+1,求函数y=f(x)的解析式.

(2)将函数y=x2-4x+1的图像按向量a=(1,2)平移后,得到图像C,求图像C所对应的函数解析式.

解:(1)设点A1(x1,y1)是函数y=2x2+8x+1图像上的任意一点,则有y1=2(x1)2+8x1+1,设平移前图像上的对应点为A(x,y),由平移公式可得x1=x-2,y1=y+1,将其代入y1=2(x1)2+8x1+1中,得y+1=2(x-2)2+8(x-2)+1,化简得y=2x2-8,此即为函数y=f(x)的解析式.

(2)设点A(x,y)是函数y=x2-4x+1图像上的任意一点,它按向量a=(1,2)平移后,在图像C上的对应点为A1(x1,y1),由平移公式得,x1=x+1,y1=y+2,进而有x=x1-1,y=y1-2,

将其代入y=x2-4x+1中,得y1-2=(x1-1)2-4(x1-1)+1,化简得y1=(x1)2-6x1+8,则图像C的函数解析式为y=x2-6x+8.

评注:求平移前(后)图像的解析式,只需根据平移公式将平移后(前)图像的解析式转化为关于x和y(x1和y1)的解析式即可.

四、求曲线中的相关问题

例4 (1)已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,求双曲线的方程.

(2)求双曲线4y2-x2-2x-5=0的中心、焦点、顶点的坐标和渐近线方程.

解:(1)由3x-4y-2=0和3x+4y-10=0解得x=2,y=1,则所求双曲线的中心坐标为(2,1).将双曲线按向量a=(-2,-1)平移,在平移变换x1=x-2,y1=y-1下,其渐近线方程变为y1=±x1,准线方程变为y1=-.设平移后双曲线的方程为-=1(a＞0,b＞0)则有=±x1准线方程变为y1=-.设平移后双曲线的方程为-=1(a＞0,b＞0),则有=,=,c2=a2+b2,解得 a2=9,b2=16,则平移后双曲线的方程为-=1 ,将平移公式代入其中得所求的双曲线方程为-=1．

(2)将原方程配方,得y2-=1,则双曲线的中心坐标为(-1,0).令x1=x+1,y1=y,在平移变换x1=x+1y1=y 下,原双曲线的方程变为y12-=1,其焦点坐标为(0,±) ,顶点坐标为(0,±1),渐近线方程为y1=±x1 所以所求双曲线的中心、焦点、顶点坐标分别为(-1,0),(-1,±),(-1,±1) ,渐近线方程为y=±(x+1),即x±2y+1=0.

评注：由条件求方程,先应将方程变换为标准方程,然后才能由曲线的性质得到关于方程中的待定系数的关系式,再得到所求的方程,将曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后曲线的方程为f(x-h,y-k)=0；由方程求其它，先由平移公式将方程化为标准式，并求出所要求的问题，再利用平移公式将其还原，此即为所求。