受弯钢梁失效性评价的随机模拟与三角模糊数耦合模型

【摘要】对于已建钢结构厂房中的受弯钢梁来说几何尺寸，材料强度会存在一定的偏差存在一定的随机性和模糊性。采用蒙特卡洛方法模拟三角模糊数，把三角模糊数及其函数之间的运算转化为普通实数之间的运算，建立了钢梁失效风险评价的随机模拟与三角模糊数耦合模型。应用结果表明此方法可以很好的评价已有受弯钢梁的失效风险，为结构可靠度计算提供了途径。

【关键词】受弯钢梁；风险评价；耦合模型；随机模拟；三角模糊数；蒙特卡洛方法

对于已建钢结构厂房中的受弯钢梁来说几何尺寸，材料强度会存在一定的偏差存在一定的随机性和模糊性。为对风险进行评价首先必须建立赖以进行分析的极限状态函数，将正态分布近似转化为三角形分布，进而利用随机模拟与三角模糊数耦合模型对受弯钢梁的失效风险进行评价。

1 正态分布隶属函数的对称三角形近似

设 为平均值， 为标准差，则正态分布 ，隶属函数 如式（1）所示：

， （1）

式中： 为模糊变量在论域中的可能值变量。

设3个实数 、 和 分别为模糊变量 的最小可能值，最可能值和最大可能值，这里 。 可以用式（2）为隶属函数的三角模糊数 来表示[2，3]：

， （2）

式中： 为模糊变量在论域中的可能值变量。

目前常用的简化方法有“ 规则”法，其思路简单，实现容易，有一定的实用价值，但是此种近似方法不能总是保证对称等价三角形分布函数与正态分布函数在形状上具有较好的相似性，因此有时误差很大，甚至出现错误的结果。本文采用“最大最小法”。

最大最小法的思路是：

选取适当的等价三角形隶属函数的取值范围 ，中间值为T（即 =T-R， =T， =T+R）使得三角形隶属函数 与正态分布隶属函数 在此取值范围内， 的最大值达到最小。在这里可取 ，此时只要求在 使得 的最大值达到最小就可以了。也即求解式（3）的优化模型：

， （3）

从而可以采用适当的优化方法确定R的值，进而可以得到近似的对称三角形隶属函数。

2 三角形隶属函数下的模糊随机可靠性分析。

步骤1：三角模糊数的随机模拟。

用式（2）中隶属函数曲线除以其与 轴围成的面积 ，得到的值可作为三角模糊数 的可能性概率密度函数：

， （4）

把式（4）转换为概率分布函数，再用逆变换法[6]得到可能值变量 的随机模拟公式为：

， （5）

式中： 为区间 上的均匀分布随机数。

随机模拟 的过程，就是通过计算机程序先产生 区间上的一系列均匀分布随机数 ，将这些随机数代入公式（5），就可以得到大量的模拟系列 ，于是可以把三角模糊数及其函数之间的运算简化为普通的实数之间的运算。其中 为试验次数。

步骤2，钢梁的失效概率估计。

设受弯钢梁的受弯极限状态变量为 ，极限状态函数为

， （6）

失效极限状态为 ，则受弯钢梁失效可定义为：

， （7）

式中：极限状态变量 ，可用所研究的极限状态函数来描述与计算。 为事件“ 的概率函数。

将钢梁中的各参数变量利用1中所述方法用对称三角形分布进行相似转化。采用2中步骤1的随机模拟方法可以得到受弯钢梁的各个参数变量的大量模拟序列，代入公式（6）可得到极限状态函数的大量模拟序列： ，m 为随机模拟的试验次数。研究表明[6]，试验次数越多， z 的频率分布越接近于其真实的概率分布，在实用上m 一般取频率分布收敛时所对应的试验次数。若统计序列 中小于控制限值 的数目为 ，则受弯钢梁失效概率估计值为：

。 （8）

根据风险的估计值和模拟序列 的统计特征，可得到受弯钢梁的失效概率。

3 实例分析

本文采用文献[7，8]提供的数据，某钢梁承受确定性弯矩 ，钢梁的抵抗矩 和屈服强度 都是随机变量， 和 都服从正态分布。 的平均值为 ，均方差为 ； 的平均值为 均方差为 。利用以上所提供的方法分别进行10000次，20000次，30000次，40000次，50000次的计算，当进行50000次计算时发现结果已经收敛，可得到模糊随机失效概率如表（1）所示：

由表1可以得出：试验50000次时模型的计算值已经收敛，此时受弯钢梁的失效概率为0.00104这和文献[7，8]所计算的结果相一致。表明钢梁失效的可能性很小。

4 结论

为有效处理受弯钢梁失效问题中的的随机性、模糊性，以及资料信息的不完整、不精确性等不确定性复杂特征，探讨了三角模糊数理论在受弯钢梁失效问题中的具体实现途径。针对现有的三角模糊数的乘法、除法和函数运算尚不够严谨、操作过程较为复杂等问题，提出把三角模糊数的隶属函数转换为三角模糊数的可能性概率密度函数，采用随机模拟方法模拟三角模糊数，把三角模糊数及其函数之间的运算转换为普通的实数之间的运算，进而建立了受弯钢梁失效问题评价的的随机模拟与三角模糊数耦合模型。

应用结果说明：通过Monte Carlo 方法可以得到受弯钢梁状态变量的大量模拟序列，简便地反映受弯钢梁评价系统中更多更复杂的情况，因此其计算结果更为全面和合理。