走出困境:二元怎样归一元

主 讲：许志锋

中学高级教师，台州市“教学能手”，拥有20余年高三教学经验，参加过“国家级骨干教师”培训并被授予合格证书.

推荐名言

逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具．

——庞加莱 （法国数学家，提出了世界七大难题之一“庞加莱猜想”）

在高中阶段，同学们仅学过对一元函数求导．可在某些函数问题中，我们却不得不面对两个独立的自变量．怎样将二元函数转化为一元函数呢·我们将以2011年南京市的一道高考模拟题为例，深入探讨这一话题．

例 已知函数f（x）=x-1-alnx （a∈R）．

（1） 若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y-3=0，求a；

（2） 求证： f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；

（3） 若a

问题（1）解答

f′（x）＝1-■． 曲线y= f（x）在x=1处的切线方程为3x-y-3=0， f′（1）=3． 解得a=-2.

问题（2）证明

若a=1，则f（x）=x-1-lnx （x>0），f′（x）=1-■． 当0

反之，观察可得f（1）＝0，若f（x）＝x-1-alnx≥0恒成立，则x=1作为定义域（0，+∞）内的一点（非端点），应当是f（x）的极小值点， f′（1）=1-■=0，解得a=1．

f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1.

问题（3）解析

首先，我们要设法去掉绝对值． 不等式f（x1）-f（x2）≤4■-■两边都有x1，x2，设0

要去掉f（x1）-f（x2）的绝对值，就要考虑f（x）的单调性. f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a0， f（x）在（0，+∞）上单调递增， f（x1）-f（x2）＝f（x2）-f（x1）．

这样一来，问题（3）就等价于“若a

如果将f（x）＝x-1-alnx代入①式，①式就成了一个含有x1，x2两个变量且同时含有对数式与分式的不等式． 麻烦来了，二元怎样归一元·

让我们换个角度处理①式. 将同一变量的表达式置于等号同侧，可得f（x2）+■≤f（x1）+■ （②）． 将②式的左右两边看做函数F（x）＝ f（x）+■的自变量x分别取x1和x2时的值. 在0

设F（x）＝f（x）+■，则F′（x）=1-■-■=■． 问题进一步转化为“在区间（0，1］上，g（x）=x2-ax-4≤0恒成立，求a的取值范围”． 我们注意到，g（x）的图象开口向上，且g（0）=-4

点 评

分析例题的解答过程，显然，从①式到②式的细微变化是解题成功的关键．因为②式左右两边相同的结构形式会促使我们联想到构造一元函数F（x）＝f（x）+■，并将关于x1，x2的二元函数看做关于ｘ的一元函数的两个取值．这种方法有点类似于数列问题中构造新数列求解原数列的方法．比如，“在数列｛ａｎ｝中，已知ａ1＝1，ｎａｎ+1-（ｎ+1）ａｎ＝ｎ（ｎ+1），求｛ａｎ｝的通项公式”，解答的关键是对等式两边同除以ｎ（ｎ+1），得■-■＝1，然后将■，■看做等差数列｛ｂｎ｝中相邻的两项，并通过｛ｂｎ｝的通项公式解得｛ａｎ｝的通项公式ａｎ＝ｎ2．

【练一练】

已知函数f（x）=（ａ+1）ｌｎｘ+ａx2+1.

（1） 讨论f（x）的单调性；

（2） 若ａ＜-1，且对任意的ｘ1，ｘ2∈（0，+∞）， f（x1）-f（x2）≥4x1-x2，求ａ的取值范围．

【参考答案】

简解：（1） f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝■+2ａｘ=■．

若a≥0，则■＞0，2ａｘ≥0， f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）上单调递增.若ａ≤-1，同理可得f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减. 若-1＜ａ＜0，令f′（x）＝0，解得ｘ＝±■，则f′（x）＝■在（0，+∞）上仅有一个零点ｘ＝■，当ｘ∈0，■时，f′（x）＞0， f（x）单调递增；当ｘ∈■，+∞时， f′（x）＜0， f（x）单调递减．

（2） 当a

-■=■=■-2，又■≥0， ａ∈（-∞，-2］．