论刘徽的“割圆术”与微积分

《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率(157÷50). 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ]

1 刘徽的“割圆术”

我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”.

“??割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ]

2 几点注记

在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想.

2.1 数列极限的夹逼准则

刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、L2 n 、S2 n .

刘徽用“勾股术”得[4 ] :

若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:

刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”:

S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,

“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ”

limn ∞S2 n < S0 < limn ∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn ∞( S2 n + ( S2 n - S n )).

即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积.

2.2 折中的无限分割方法

关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的.

与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰. 刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数??”. 显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨. 因而,这也阻碍了无理数的发现. 刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要计算方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质. 对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的影响很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统.

另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5 ] . 刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来, 即无须由于受到无限的困扰. 刘徽道“??割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣??”. 同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积) 中说道:“半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6 ] 这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”) 的动作. 同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长. 这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与现代的微积分思想一致.

2.3 不可分量可积的思想

刘徽受《墨经》的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题. 在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的. 这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据. 他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L ,每个小等腰三角形的底边长为l ,面积为A . 刘徽以“不可分量可积”为前提容

易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L : Σl = L . 于是, Σrl = r Σln = L r = Σ2A

= 2 ΣA = 2 S0 ,“故以半周乘半径而为圆幂”:S0 =1/2L r.

目的是证明圆面积公式而非求圆周率

刘徽费尽周折,殚精竭虑创立包含着朴素微积分的割圆术,目的只是为证明圆的面积公式,从而他说:此以周、径,为至然之数,非周三径一之率也. 为此他同样使用割圆术中的数据,提出了求圆周率近似值的程序. 于是得到下表:

利用,S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) ,

得到:314×64/625< S0 < 314×169/625,

由S0 =1/2L r ,得L≈2 S2 n/r= 628. 故π=628/200= 3.14.

2.5 HPM 的思想

科学史上的诸多事实都显示出无穷概念的巨大重要性和深远影响. 实数系的逻辑基础在十九世纪末叶才被建立的事实之所以令人惊奇,正是因为人们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的.对无穷的思考并试图理解它和准确地定义它,是对人类智慧的一个挑战. 古希腊以降,无穷的概念就引起了先哲们的注意,但它固有的超越人类有限思维的特征,使得人们对它理解的进展十分缓慢. 希尔伯特曾说过,无穷是一个永恒的谜. 直到19 世纪,柯西和魏尔斯特拉斯给出极限的精确定义为止,人们都无法逾越这一思维中的结症.

因为极限的“ε2”定义,术语抽象且符号陌生,其中的辩证关系不易搞清. 这个概念中内含诸多玄机.它简练外表,隐藏了2000 余年来人类面对无限的困惑和努力. 这个定义包含着“动与静”的辩证法,包含着从有限到无穷的飞跃,包含着纯洁的数学美.

个体的认识规律会“重演”数学史的发展历程,因此在教学中,学生自然会提出的一系列问题:既然极限描述性定义简单明白,为什么要搞个“ε2”定义? 它与描述性定义有什么不同? 数学家怎么会想出这种“古怪而讨厌”的定义? 正如R ·柯朗和H ·罗宾所说:“初次遇到它时暂时不理解是不足为怪的,遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,他们不作充分的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好象作些解释就有损于数学家的身份似的. ”要弄清这些问题,只有翻开数学史,从

哲学的角度认识极限法,这样不仅能帮助我们搞清极限的概念,也有助于建立正确的数学观念.

极限的精确定义和是微积分的理论基石. 但是要在几堂课内讲清楚困扰人类2000 余年极限问题,确实是个难题,HPM 也许是他山之石. 比如通过开辟第二课堂,或在课上,介绍刘徽“割圆术”中的微积分思想,对极限定义的理解将会大有裨益.

[参 考 文 献]

[1 ]同济大学数学教研室. 高等数学(上册,第四版) [M] . 北京:高等教育出版社,2000 ,33 - 34.

[2 ]郭书春. 中国古代数学[M] . 北京:商务印书馆,1997 ,164.

[3 ]郭书春汇校. 九章算术(上) [M] . 沈阳:辽宁教育出版社& 台湾九章出版社,2004 ,1.

[4 ]李文林. 数学史教程[M] . 北京:高等教育出版社& 施普林格出版社,2000.

[5 ]邹大海.《墨经》“次”概念与不可分量[J ] . 自然科学史研究,2000 ,19 (3) :222 - 233.

[6 ]郭书春. 汇校九章算术[M] . 沈阳:辽宁教育出版社,1990 ,287.