四阶高分辨率熵相容算法

摘要：

针对一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题，提出了一种四阶高分辨率熵相容算法。新算法时间方向采用半离散方式，空间方向应用四阶中心加权基本无振荡（CWENO）重构方法，数值通量引入Ismail通量函数，将新的四阶算法应用于静态激波问题、激波管问题以及强稀疏波问题的数值求解中，并将所得结果同准确解以及已有算法所得结果进行了分析与比较。数值结果表明：新算法计算结果正确、分辨率高，能够准确捕捉激波及稀疏波，并能有效避免膨胀激波的产生。新算法适用于准确解决一维Burgers方程和一维Euler方程组的数值求解问题。

关键词： 双曲守恒律方程；半离散方法；四阶格式；优化龙格库塔法

中图分类号：O241.8

文献标志码：A

Tadmor[2]首次提出了熵守恒数值求解格式，但这种算法只能用于求解连续性问题，在处理间断问题时会因为总熵不耗散而出现严重的数值振荡。Tadmor[3]还提出了熵稳定算法，该算法可以用于连续问题与间断问题的数值求解，但该算法在捕捉激波与接触间断时不够精确（总熵不能恰当耗散达到熵相容）。Ismail等[4-8]基于能够准确捕捉间断的Roe算法，从物理概念本身出发，构造出相应的熵相容算法，通过参数调节，实现对若干问题的准确求解。为叙述问题的方便，本文称该类算法为Ismail熵相容算法。该类算法保留了原有Roe算法准确捕捉间断的优势，且避免了Roe算法在解决强稀疏波问题时出现的膨胀激波现象以及求解二维Euler方程组问题时出现的“红斑”现象。但该类算法在空间方向只有一阶精度，分辨率低。

鉴于此，作者在文献[9]中引入三阶中心基本无振荡（Central Weighted Essentially NonOscillatory， CWENO）型重构法[10]将Ismail熵相容算法的精度提高到三阶，构造了三阶CWENO型熵相容算法，并将其应用于若干典型双曲守恒律方程（组）的数值求解中。本文将算法精度进行进一步提高，构造出四阶高分辨率熵相容算法，并将该算法应用于若干典型问题的数值求解中。数值结果表明：新算法计算结果正确，且保留了原有三阶熵相容算法的优点，新算法的分辨率比三阶熵相容算法的分辨率高。

3结语

针对典型的一维双曲守恒律方程（组）的数值求解问题，本文构造了四阶CWENO型熵相容算法，并将新算法应用于若干问题的数值求解当中。通过对所得结果的比较与分析，所得结论如下：

1）新算法所得数值结果正确；

2）新算法不仅可以处理Roe型格式不能处理的静态激波问题，而且保留了Roe型格式能准确捕捉激波的特点；

3）新算法可以避免强稀疏波问题中的膨胀激波产生；

4）新算法比三阶CWENO型熵相容算法分辨率高。

新算法在空间方向离散时引入了四阶CWENO重构，时间方向采用半离散方式，该算法易于编程实现。

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