求线面角的三种方法

本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.

例 如图1，在正三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AB=2AA1]，点[D]是[A1B1]的中点，点[E]在[A1C1]上，且[DEAE].求直线AD和平面[ABC1]所成角的正弦值.

[图1][图2]

方法1 直接作出线面角求解

分析 因为本题几何图形是特殊的几何体――正三棱柱，点[D]在特殊位置上――线段[A1B1]的中点，所以本题比较容易作出线面角.

解 如图2，设[F]是[AB]的中点，连结[DF]，[DC1]，[C1F].由正三棱柱[ABC-A1B1C1]的性质及[D]是[A1B1]的中点知，[A1B1C1D]，[A1B1DF].

又[C1D?DF][=D]，所以[A1B1]平面[C1DF].

而[AB∥A1B1]，

所以[AB]平面[C1DF].又[AB?]平面[ABC1]，故平面[ABC1]平面[C1DF].

过点[D]作[DH]垂直[C1F]于点[H]，则[DH]平面[ABC1].

连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和平面[ABC1]所成的角.

由已知[AB=2AA1]，不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[DF=2]，[DC1=3]，

[C1F=5]，[AD=AA21+A1D2][=3]，

[DH=DF・DC1C1F=305].

所以[sin∠HAD=DHAD=105].

方法2 用等体积法求出点[D]到 [图3] 面[ABC1]的距离[h]，[hAD]为所求线面角的正弦值

分析 如图3，连结[C1D]，[BD]，即得四棱锥[D-ABC1].用等体积法，即[VD-ABC1=VC1-DAB]，容易求出点[D]到平面[ABC1]的距离[h].

解 如图3，连结[C1D]，[BD].

因为平面[A1B1C1]平面[AB1]，[C1D][][A1B1]，

所以[C1D][]平面[AB1].

不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[DC1=3]，[AC1=BC1=6]，[AD=BD]=[3].

易求[SΔADB=2]，[SΔABC1=5].

设[D]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[DH=h]，连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和面[ABC1]所成的角.

因为[VD-ABC1=VC1-DAB]，

所以[13×h×SΔABC1=13×C1D×SΔABD]，[h=305].

所以[sin∠HAD=DHAD=105].

[图4] 方法3 坐标向量法

解 如图4，设[O]是[AC]的中点，以[O]为原点建立空间直角坐标系，不妨设[AA1][=2]，则[AB=2]，相关各点的坐标分别是[A（0，-1，0）]，[B（3，0，0）]，[C1（0，1，2）]，[D32，-12，2.]

易知[AB]=（[3]，1，0），[AC1]=（0，2，[2]），[AD]=[32，12，2].

设平面[ABC1]的一个法向量为[n=（x，y，z）]，

则有[n ・ AB=3x+y=0，n ・ AC1=2y+2z=0.]

解得[x=-33y]，[z=-2y].

故可取[n=（1，-3，6）].

所以[cos=n・AD|n|・|AD|][=-105].

则[AD]和平面[ABC1]所成角的正弦值为[105].

变式1 如图1，将题设条件“点[D]是[A1B1]的中点”改为“点[D]是棱[A1B1]上一点，[A1D=14A1B1]”，其它不变.

解法1 虽可作出所成角，但求解过程复杂，故放弃此法.

[图5] 解法2 如图5，连结[BD]，取[A1B1]的中点[F]，连结[C1F]，则[C1F][A1B1]，[C1F]平面[DAB].

不妨设[AA1=2]，则[AB=2]，[C1F=3]，[AD=][AA12+A1D2=32].

易求[SΔADB=2]，[SΔABC1=5].

设[D]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[DH=h]，连结[AH]，则[∠HAD]是[AD]和平面[ABC1]所成的角.

因为[VD-ABC1=VC1-DAB]，所以有

[13×h×SΔABC1=13×C1F×SΔABD]，[h=305].

所以[sin∠HAD=DHAD=23015].

解法3 如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设[AA1=2]，点[A]，[B]，[C1]，[AB]，[AC1]及平面[ABC1]的法向量[n]的坐标同原题解法3.不同的是：

[D34，-34，2]，[AD]=[34，14，2].

所以[cos=n・AD|n|・|AD|][=2310×32=23015].

则[AD]和平面[ABC1]所成角的正弦值为[23015].

变式2 原题题设不变，将结论改为“求直线[AE]和平面[ABC1]所成角的正弦值”.

解法1 点[E]不是特殊点，它在平面[ABC1]内的射影不好定位，故放弃此法.

解法2 如图6，不妨 [图6]设[AA1=2]，则[AB=2]，[AE=AA12+A1E2=32] ， [A1E=12A1D=12]，[EC1=32].

取[AC]的中点[F]，连结[BF]，易知[BF]平面[AEC1]，[BF=3].

易求[SΔAEC1=324]，[SΔABC1=5].

设[E]在平面[ABC1]内的射影为[H]，[EH=h]，连结[AH]，则[∠HAE]是直线[AE]和平面[ABC1]所成的角.

因为[VE-ABC1=VB-AEC1]，所以有

[13×h×SΔABC1=13×BF×SΔAEC1]，[h=33020].

所以[sin∠HAE=EHAE=3010].

则[AE]和面[ABC1]所成角的正弦值为[3010].

解法3 如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设[AA1=2]，点[A]，[B]，[C1]，[AB]，[AC1]及平面[ABC1]的法向量[n]的坐标同原题解法3.不同的是：

[D0，-12，2]，[AE]=[0，12，2].

所以[cos=n・AE|n|・|AE|][=32310×32=3010].

则[AE]和面[ABC1]所成角的正弦值为[3010].

究竟选择哪一种方法更好，需要根据题目所给的图形特征来确定. 若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是不错的选择；若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，解法3是最佳选择.