用Levenberg-Marquardt法进行二维介质重构

摘 要：对于在TM 柱面波、平面波简谐波照射下，接收装置采用线状、环状装置，在有约束和没有约束情况下的目标重构，从散射的积分方程出发，采用矩量法离散该积分方程，对所得的非线性方程组采用Levenberg-Marquardt方法求解，其中对正则化因子，即阻尼因子的选取采用修正的Feltcher算法。数值结果表明该方法可以减少求解方程组的病态性，具有较好的收敛性。比较数值仿真结果，给出二维介质重构的实验设置方法。

关键词：重构；Feltcher算法；微波成像；非线性方程组

中图分类号：TP391 文献标识码：B

文章编号：1004-373X(2008)06-053-03

Reconstruction of the Two-Dimension Inhomogeneous Media with a Levenberg-Marquardt Method

ZHANG Hui，LI Zongling，ZHANG Xiaodi，MA Fengquan

(Xianyang Teacher College，Xianyang，712000，China)

Abstract：The reconstruction of is obtained from the scattered integral equation based on the method of moment with pulse-basis function and point matching while the receiver distribution is the circular shape or linear one，the constraint is forced or not，the incident wave is cylindrical wave or plane wave.The integral equation is discretized by MOM，it is solved with Levenberg-Marquardt method and the damping factor is selected with the modified Feltcher algorithm.Numerical example shows the method possessed good convergence and can obtain good reconstruction results.In final the reconstruction configuration of a 2-D inhomogeneous object is given.

Keywords：reconstruction；Feltcher algorithm；micro-wave imaging；non-linear equation

微波成像是一种以微波作为信息载体，利用在目标外获得的散射场来重构物体的形状、位置以及构成参数等的一种成像方法。由于该方法在医学[1]、非损坏性探测[2]、遥测[3]等领域有广泛的应用前景，而使得对于实验方法、重构算法的研究有了长足的发展。从研究的文献看，在目标重构中对于散射场的接收有线状装置、环形装置，照射目标体的的电磁波有柱面波、平面波等。重构的算法有基于衍射层析的第一代算法，求解弱的、小的散射体的Bron，Rotv[4]算法以及修正的梯度算法、修正的Bron算法[5]等。由于介质重构是一个病态问题，病态性加剧了解决问题的复杂性。Levenberg-Marquardt(L-M)方法[6]是解决所研究病态问题的一种有效的方法，而该方法的关键是选择合适的阻尼因子，基于此，本文对阻尼因子的选取采用选择阻尼因子的修正的Feltcher算法[7]，经数值仿真表明：该方法既可保持一定的收敛速度，又可改善问题的病态性。

本文对于2-D柱状目标体目标，从目标散射的积分方程出发，采用矩量法离散该积分方程，对所得的非线性方程组采用L-M方法求解，其中阻尼因子的选取采用修正的Feltcher方法[7]。在比较了在TM柱面波、平波照射下，接收装置为线状结构和环状结构、

在有经验约束和无约束情况下目标的重构，比较仿真结果给出介质重构的实验装置设置。

1 构型

对于二维目标介电常数进行重构。其构型如图1接收装置为环状结构，图2为线状接收装置。在图1、图2中，区域Е钢械亩维目标，被不同入射方向的(用θinl表示，l=1，2，…，J)时谐TM波eil照射，eil为平面波或柱面波，R=1，2，3…为接收器所在点。

图1 环状接收散射

2 前向问题和逆向问题

在微波成像中，许多微波成像系统都可形成如下的算子方程[5]：

4 数值模拟结果和讨论

定义：反差函数和散射场的相对误差分别为：

在式(16)中C0，e0s分别为反差函数和散射场的理论值，es和C(c)Х直鹞散射场和反差函数的迭代值。

本节给出二维目标复介电常数的重构结果。在所给的例子中，背景介质取为真空，目标反差函数其实部和虚部如图3(a)，(b)。其中阻尼因子的选取是采用修正Feltcher算法。[KH-2]

图3 目标反着函数实部和虚部

图4(a)，图4(b)和图5(a)，图5(b)是采用平面波作为入射波、接收器分别为线状和环状分布，在有经验约束(constraint)和无经验约束(un-constraint)时的ErrS和Erres相对于迭代次数的关系图。图中显示线状接收装置在无约束情况下，迭代的散射场要比有约束的情况更接近理论值，但有约束的迭代其反差函数的相对误差在一定的迭代次数之后比无约束更小。而对于环状接收装置，在约束情形下，散射场和反差函数的相对误差比无约束的要小。比较线状接收装置和环状接收装置的数值仿真结果：有约束的环状接收装置目标重构的反差函数相对误差小于同迭代级次的线状接收装置。

图4 ErrS和Erres相对于迭代次数关系图

图5 ErsS和Erres相对于迭代次数关系图2

图6(a)，图6(b)是分别以平面波、柱面波，接收装置为线状、环状装置，(plnear linear，平面波入射，接受为线状装置；planear circular，平面波入射，接受为环状装置；cylinder circular，柱面波入射，接受为环状装置；)有约束情形下的ErrS和Erres相对于迭代次数的关系图。

从数值仿真的结果看在有约束、入射波为平面波的情形下且接收装置为环状分布时，重构的反差函数有较小的相对误差。

图6 ErrS和Erres相对于迭代次数关系图3

图7(a)，图7(b)是采用入射波为平面波、接收装置为环状分布、有约束的情况下，在第11次迭代时的目标实部和虚部的重构结果。

图7 目标虚实部的重构结果

5 结 语

数值仿真结果表明：修正的Feltcher算法，在一定的初始值范围内，算法具有较好的收敛性，收敛性对初始值的要求较为宽松。对于二维目标介质的重构，比较好的实验系统设置为采用平面波作为入射波，接收器采用环状分布。在重构的过程中，如果考虑经验资料的话，将能得到好的重构结果。修正的Feltcher算法的缺陷是在选择正则化因子的过程中需多次求解方程组，增加了计算量，同时在仿真过程中未考虑噪声的影响。所以，减少计算量和考虑噪声的影响将是下一步努力的方向。