住房反向抵押贷款定价模型的比较分析

摘要:文中分析比较了两种典型定价模型――支付因子定价模型和保险精算定价模型。从激励机制和约束机制角度比较的结果是,支付因子定价模型的约束更强一些,即可通过设定贷款限额防止银行出现亏损;而保险精算定价模型的激励更大一些,即可通过调节银行的利润率使其有利可图。另外还从老年人的年龄、利率和房价波动入手,分析定价模型的敏感性。

Abstract: The paper analyzes and compares two classic pricing models: paying-factor pricing model and actuarial pricing model. From the perspective of incentive and constraint, the former has stronger constrains, that is to say, bank can reduce losses by setting credit limits. While the latter is more incentive, that is, bank can gain profit by adjusting its margins. Studied factors such as old age, interest rates and housing price fluctuations, the paper analyzes the sensitivity of these factors on the pricing models.

关键词:反向抵押贷款;定价模型;激励机制;约束机制

Key words: reverse mortgage;pricing model;incentive mechanism;restraint mechanism

中图分类号:F832.4 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)31-0031-02

0引言

迄今为止,中国老龄人口绝对数居世界首位,而且人口老龄化速度发展很快。到2030年,中国60岁以上的人口数量将会是1990年的四倍,老龄人口将占全国人口的24%[1]。老龄化是众多国家面临的一个严峻社会问题,为了保障老年人的生活水平同时减轻政府负担,住房反向抵押贷款就应运而生了。住房反向抵押贷款是指居民以自有产权的住房作为抵押,定期向金融机构取得主要用于日常养老费用开销的贷款,申贷人最终死亡时,用该住房的剩余价值归还贷款本金和利息,它的现金流方向与传统抵押贷款相反[2]。反向抵押贷款业务的开展面临的问题很多,其中首要考虑的就是定价问题,即在考虑借款人年龄、住房初始价值及升值率、贷款利率等因素的条件下,通过建立一定模型,确定银行应支付给老年人的贷款额度。

1两种典型定价模型的特点

1.1 支付因子定价模型在反向抵押贷款业务发展最为成熟的美国市场上,主要通过支付因子定价模型,对现行主要住房抵押贷款产品―住房资产转换(Home Equity Conversion Mortgage,HECM)进行定价。支付因子定价模型是基于Chinloy 和Megbolugbe(1994)[3]所设计定价模型的思想提出的,即反向抵押贷款债务现值等于一系列贷款支付额的现值。文献[3]提出了反向抵押贷款现金流方程,我们对方程中的参数作如下假设:L=min(H,λ),L表示反向抵押贷款借款人可以申请到的贷款基数,λ表示贷款的限额,H表示住房初始评估价值,老年人实际能够借到的贷款数额仅为贷款基数的一部分,用v表示贷款数额与贷款基数的比例,那么老年人可以借到贷款最大数额为vL;h为房产价格年波动率;r为反向抵押贷款年利率;T表示贷款到期的时刻,也即借款人死亡的时刻;A(t)为老年人在t时刻收到的现金支付额,假设贷款支付方式选择年金支付,故A(t)简化为A;p(t)表示老年人在t时刻的存活概率密度,为了简化,将其调整为p。由此可得方程(1)。

vL•exp[(h-r)T]=p(t)•A(t)•exp(-rt)dt(1)

解(1)式可得每年领取额度A=bvL,其中:

b=r/p•exp(-hT)•[exp(rT)-1] (2)

b称为支付系数,上述模型就是支付因子定价模型。式(1)采用连续计息的资金时间价值,即用指数形式对贷款额和房屋价值进行折现。等式(1)左方式子表示将房屋未来的价值贴现到合同初始签署日期,也即房屋的现值;等式(1)右方表示从合同签署日到结束时一系列贷款支付额的期望现值。此模型主要考虑的因素有三个:房屋价值波动率、利率和老年人的年龄。从支付因子的定价方式可以看出,房屋波动率h与年金支付额A成正比;随着借款人存活可能性p的提高,也即预期寿命越长,年金支付额减少;r对年金支付额A的影响有两方面:一是对房产现值的影响,r越大房产现值越小,一是对支付总额现值的影响,r越大支付总额的现值就越小。观察等式(1)左方,当h>r时,领取的反向抵押贷款总额期望现值大于房屋的初始评估价值;反之,则小于房屋的初始评估价值。

1.2 保险精算定价模型保险精算定价模型是根据期望收支平衡原则构建的,模型分为一笔支付模型和终生年金模型。在支付因子模型中,由于需要历史数据来确定支付因子,因此在尚未开展住房反向抵押贷款的国家,学者们一般选用保险精算模型来定量研究住房反向抵押贷款[5]。根据文献[4]得到以下模型:

1.2.1 一笔支付模型一笔支付模型(Lump Sum简写为LS),是指申请人与银行签订合同后,银行根据房屋的初始价值以及未来升值等确定总贷款额,将其一次性全部支付给申请人,之后不再发放贷款。根据收支平衡原理,申请人一次性得到的贷款额与其住房未来价值的期望现值相等。我们对模型中的参数做如下假设:

LS为银行一次性支付总额;rf为无风险利率;g为房屋资产投资风险回报率;m为反向抵押贷款风险利率;H为房屋资产现值;tPx为年龄为x岁的申请人在住房反向抵押贷款合同开始后第t年内生存的概率;T为x岁的借款人的最大存活余命,即105-x。

可得一笔支付模型为:LS=H××P(3)

1.2.2 终生年金模型终生年金是指老年人与银行签订合同后,银行在固定时间内每年支付等额现金给老年人,直至老年人去世。

A=(4)

将式(3)代入(4)可得等式(5):A= (5)

那么平衡方程为等式(6):

H••P=A•P (6)

等式(6)左方是指在整个反向抵押贷款期间,在考虑了升值和折旧因素以后的房屋期望现值;等式(6)右方是指老年人在整个反向抵押贷款期间,能够领取到的总贷款额的期望现值。保险精算定价模型考虑的因素主要有利率、老年人的年龄和房产价值波动。从定价公式可以看出,房产的初始价值H与支付额成正比,即初始房屋价值越大,老年人领取的贷款额就越多;房屋资产投资回报率g与支付额成正比,即房屋未来增值越大,预期做为抵押物的房产价值就越大,老年人领取的贷款额就越多;反向抵押贷款风险利率m与支付额成反比,即风险利率越大,资本成本就越高,意味着合同到期时的支付额就越少。

2两种典型定价模型的比较分析

住房反向抵押贷款业务中,产品定价的高低直接影响该业务能否顺利推出,定价过低,老年人得到的贷款额就少,不能保障老年人的生活,老年人就会失去参与的积极性;定价过高,银行就面临着收不回贷款金额的风险,出现亏损,银行就会缺乏开办此业务的积极性。为此我们从如下两个角度对定价模型进行比较。

2.1 从激励机制和约束机制的角度对模型进行分析比较为了使住房反向抵押贷款业务能够顺利进行,在确定银行支付给老年人的年金额度时,要考虑到一定的激励机制和约束机制。激励机制,就是吸引老年人和银行能够积极的参与到该业务中来,使参与者有利润保障,一方面,保证老年人参与该业务的总利益所得大于房屋直接在市场上出售的价格,其中老人的总利益所得包括领取的贷款额和合同签署期内拥有的居住权利;另一方面,就是保证银行在整个业务实施过程中收益大于成本。约束机制,就是通过限定一定条件,使老人和银行参与反向抵押贷款业务所获利益至少和参与其他业务相持平。一方面,保证老人参与反向抵押贷款业务不会比参与“租房养老”方式所获利益低;另一方面,至少保证银行在该业务中所得最低利润与放贷利润相同,合同到期时支付的贷款本息和的最大限额是房屋的出售价值,否则,银行就面临亏损。文献[6]引入盈亏平衡年作为约束因素,预警贷款总额超出房产净值的风险,其中盈亏平衡年是养老金支付总额首次超出房产净值的年份。在支付因子定价模型中,考虑的约束因素是通过限定贷款的最高额度,保证银行不会出现亏损,即至少使合同结束时贷款总额度不会超过房屋净值,如不等式(7),其中z是房屋的年折旧率,不等式(7)左边表示贷款总额度,右边表示房屋净值。

p(t)•A(t)•exp(-rt)dtH•exp[(h-z-r)T](7)

美国发展成熟的反向抵押银行FHA在运用支付因子定价模型时,一方面,通过限定最高贷款额度保证银行的利益,另一方面通过保险机构,保证银行在整个合同期间有能力及时支付老年人的贷款额,不会中途破产,从而保护老年人的利益不受损害[7]。在保险精算定价模型中,考虑到反向抵押贷款的风险利率,即在无风险利率的基础上加上一定的风险升水成本和必要的利润率,通过调节利润率来保证银行有利可图,这是激励机制。对老年人而言,激励因素就是所获得总利益大于房屋直接在市场转手的价值,老人总利益所得包括领取的贷款额和合同签署期内拥有的居住权利,老年人拥有的居住权可以用租金来衡量,用R(t)表示如果租赁此房屋在t时刻要支付的租金,则对两模型而言,从式(1)和式(6)得出支付因子和保险精算模型的激励公式(8)和(9),两式的左边表示老人参与住房反向抵押贷款获得的总利益。[A+R(t)]•exp(-rt)•p(t) dtH (8)

[A+R(t)]•PH (9)

对于老年人的约束因素,就是参与反向抵押贷款业务不劣于其他的养老方式,比如“租房养老”。租房养老方式是指:租出大房再租入小房,或入住养老院养老,用房租差价款来增加老年收入[8],租房养老和反向抵押贷款都是老人利用不动产来保障晚年生活,如果从幸福感指数角度来衡量的话,老年人继续住在原来房子的幸福感指数肯定大于搬入小房子或养老院的幸福感指数。另外还要保证参与反向抵押贷款的年金收入所得不少于租房养老方式的房租差价款所得,假设年房租差价款为RD,则由(2)和(4)式得到支付因子和保险精算模型的约束公式(10)和(11),两式表示老人参与反向抵押贷款的年金收入高于房租差价。

A=vLr/p•exp(-hT)•[exp(rT)-1]RD (10)

A=RD (11)

还要注意一点,在整个反向抵押贷款业务期间,由于房屋的折旧、贷款机构的成本和利润等一系列因素的综合作用,老人领取的贷款总额只是房屋初始价值的一部分,故:exp[(h-r)T]

••P

从公式(8)(9)(10)(11)看出支付因子定价模型和保险精算定价模型对老年人提出的约束机制和激励机制大致相同;对于银行,都提出这样的约束因素,即通过限制老年人参与业务的初始年龄,避免由于老人长寿给银行带来损失,另外,支付因子模型通过限定贷款额度避免银行出现亏损,从而支付因子定价模型的约束更强一些,而保险精算模型通过调节利润率保证银行有利可图,故保险精算模型的激励更大一些。

2.2 从三个不同因素对两模型进行分析比较两模型中都考虑到了三个主要的因素:利率、老年人年龄和房屋价值波动率,下面从这三个方面进行分析。①老人年龄对定价模型的影响。老人的年龄在定价模型中是个关键因素,它主要影响贷款的支付期限和支付额度。贷款机构在开办此项业务之前,必须考虑到怎样设定不同年龄申请者的贷款额度,才能更符合老年人的心声。首先不容置疑的是,随着老人申请年龄的增加,其贷款额度需随之增加,支付因子定价模型和精算模型都考虑了这一点;其次就是要看随着年龄的变化,其贷款额变动程度的大小,由于随着老人年龄的增加,其身体状况日益下降,消费随之大幅上升,为了不让老人陷入无钱看病的窘况,满足高龄老年人晚年的高额消费水平,模型设置的结果必须要拉开不同年龄层次申请人的贷款额的幅度。②利率变动对定价模型的影响。利率在许多文章中都被视为定价模型中最重要的因素。在长达十数年乃至数十年的时间里,利率的波动是必然的,利率的波动对定价模型的影响很大。显而易见,利率与年金支付额度成反比,利率变大,借款人收到的贷款额就少,利率变小,贷款机构支付的贷款额就大。在整个反向抵押贷款期间,采用固定利率的话,在市场利率上升时,银行不能减少每月的贷款额,将承担额外的利息损失,在市场利率下降时,房产的价值相对上升,老年人有机会使用另一种途径以更高的价格处置房产,从而老年人的机会成本就会增加。③房价波动对定价模型的影响。房屋价值的波动会对反向抵押贷款的开展增加许多不确定因素,这个因素也是需要重点考虑的因素之一。在反向抵押贷款业务合同结束时,若房产价值高于累积贷款额,则贷款机构就有利可图;若合同结束,房产价值低于累积贷款额,则贷款机构面临收不抵支的窘况,就无动力去开展此项业务。

3总结

文中从两个角度对支付因子和保险精算模型进行分析比较,首先是从两模型考虑到的激励机制和约束机制进行比较分析,得出支付因子定价模型的约束更强一些,通过设定贷款限额,防止合同结束时支付贷款总额超出房产净值的情况发生,避免银行出现亏损;精算模型的激励更大一些,通过调节银行的利润率使其有利可图。然后在三个主要因素的基础上,分析其对模型的影响。对贷款额度的定价需要考虑的因素有很多,该文仅就三个主要因素进行了分析,下步工作就是再考虑其余一些比较重要因素,构建出更符合现实条件的新模型。

参考文献:

[1]马克•弗瑞泽.养老金、公众观点与中国的老龄化[J].国外理论动态,2010(2):43-51.

[2]柴效武.反向抵押贷款在我国开办的迫切性和可行性的评析[J].城市,2008(1):61-64.

[3]Peter Chinloy,Isaac F,Megbolugbe.Reverse Mortgages:Contracting and Crossover Risk[J].Real Estate Economics,1994(2):367-386.

[4]Olivia S,Mitchell,John Piggott.Unlocking housing equity in Japan[J].Japanese Int Economics,2004(18):466-505.

[5]韩再.住房反向抵押贷款研究综述[J].城市经济,2009(8):125-132.

[6]Y.K.Tse.Modelling Reverse Mortgages[J].Asia Pacific Journal of management,1995(12):79-95.

[7]Roberto G, Quercia. House Value Appreciation among Older Homeowners: Implications for Reverse Mortgage Programs[J]. Journal of Housing Research,1997(2):201-223.

[8]吴清.住房逆抵押贷款与租房养老方式的比较研究[J].内江科技,2008(2):29-30.