三余弦公式推论及其应用

一、三余弦公式及其推论

三余弦公式：如图1，PO平面α于O，PA∩α=A，ABα，直线AP与AB成θ角，AP与AO成θ1角，AO与AB成θ2角，则有cosθ=cosθ1cosθ2.

证明：如图1，作OBAB于B，连结PB，则PBAB，∠PAB=θ，∠PAO=θ1，∠OAB=θ2，设|PA|=1，则|AO|=cosθ1，|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2，又|AB|=cosθ，所以cosθ=cosθ1cosθ2（θ，θ1，θ2∈（0，π2））.1

推论1：图1中，设PA∩α=A，POα于O，ABα，设∠PAO=θ1，〈AO，AB〉=θ2，〈AP，AB〉=θ，θ1∈（0，π2），θ，θ2∈（0，π），则有cosθ=cosθ1cosθ2.

证明：分θ2为锐角、直角、钝角讨论略

推论2：直线a∩平面α=A，直线bα内，Ab，直线c是a在α内的射影，直线a，c的夹角为θ1，直线b，c的夹角为θ2，异面直线a，b的夹角为θ，则有cosθ=cosθ1cosθ2（异面直线的夹角公式）.

图1图2推论3：如图2，平面AOB平面α，OBα，OCα，设∠AOB=θ1，∠BOC=θ2，∠AOC=θ，则有cosθ=cosθ1cosθ2θ1，θ2∈（0，π）2

二、应用举例

三余弦公式及其推论，在近几年高考试题中，在有关求平面角、线面角、异面直线的夹角、二面角的大小、证明命题、求距离、解决最值问题等方面有着极其广泛的应用.

1.求距离

图3例1（2012年高考试题.四川卷第10题.如图3，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为

（A）Rarccos24（B）πR4（C）Rarccos33（D）πR3

解：由题设知平面AOB平面BOP，由三余弦公式得cos∠AOP=cos∠AOB·cos∠BOP=22·12=24，所以∠AOP=arccos24，AP=Rarccos24.选（A）.

二、求相交直线的夹角

图4例2把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，点O是原正方形ABCD的中心，求折起后∠EOF的大小.

解：由题设，DO平面ABC，∠EOA=45°，∠AOF=135°，由推论3得cos∠EOF=cos∠EOA·cos∠AOF=-12，∠EOF=120°.

三、求直线和平面所成的角

例3正四面体ABCD中，求AC与平面BCD所成角的余弦值.

解：作AO平面BCD于点O，则∠ACO即为AC与平面BCD所成角，且∠OCD=30°，由cos∠ACD=cos∠ACO·cos∠OCD得cos60°=cos∠ACO·cos30°，cos∠ACO=33.即AC与平面BCD所成角的余弦值为33.

例4∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若∠AOB=∠BOC=∠COA=θ，（90°

图5解：作CD平面α于D，则∠COD就是OC与平面α所成的角，由题设知直线DOE平分∠AOB，∠DOA=π-θ2.由推论1知cos∠COA=cos∠COD·cos∠DOA.

得cos∠COD=cosθcos（π-θ2）=-cosθcosθ2.

四、求异面直线的夹角

例5（2012年高考试题.上海卷第19题.如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.

解：由题设知∠EAC=∠ECA，AC是AE在平面ABCD内的射影，设异面直线BC与AE所成的角为α，由三余弦公式得cosα=cos∠EAC·cos∠ACB=cos∠PCA·cos∠ACB=BCPC=22，所以α=45°，即异面直线BC与AE所成的角为45°.

图6图7例6（2008年安徽卷18题）.如图7，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA底面ABCD，OA=2，M为OA的中点.求异面直线AB与MD所成角的大小；

解：因为AB∥CD，所以锐角∠MDC就是异面直线AB与MD所成的角，由三余弦公式得cos∠MDC=cos∠MDA·cos∠CDA=cos45°·cos45°=12，得∠MDC=60°，所以异面直线AB与MD所成的角为60°.

例72007年北京卷第16题如图8，在RtAOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4.RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小.

解：由题设CO平面AOB，∠AOD=∠OAB=π6，OD=OB=OC，则∠CDO=45°，设异面直线AO与CD所成角的大小为α，则cosα=cos∠CDO·cos∠DOA=cos45°·cos30°=64，所以α=arccos64，即异面直线AO与CD所成角的大小为arccos64.

图8图9例8如图9，正四面体ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，求异面直线AE，CF所成的角α的余弦值.

解：连接BF、EF，由题设可知ADBF，ADCF，所以AD平面BCF，设AB=2，可得AE=CF=3，AF=1，EF=2，cos∠AEF=cos∠EFC=23，所以cosα=cos∠AEF·cos∠EFC=23.即异面直线AE，CF所成的角的余弦值为23.

[1.湖北省襄州区一中（441104）