距离之和最短问题探析

2019-06-19 版权声明 举报文章

距离之和最短问题,常以质点运动为背景,突出转化思想,考查学生的数学建模能力。该类命题一般较为抽象,易给学生布设思考障碍。为此,本文略举几例,试作探析,以求教于广大同行。

一、运用数形结合思想进行建模处理

例1 已知a是数,则a-2004+a-2005的最小值等于_______。

解析 在数轴上设A、B、P三点分别表示数2004、2005、a,根据绝对值的几何意义可知,a-2004表示点P到点A的距离,a-2005表示点P到点B的距离,即a-2004+a-2005=PA+PB,要使点P到点A和点B的距离之和最小,则动点P应在点A与点B之间运动。如图1,则有a-2004+a-2005=a-2004+2005-a=1

注 本例中P被视为一个动点。切入点是绝对值的几何意义。

据三角形三边关系可知,动点P在线段OA上运动时,y存在最小值2。

注:将函数的最值问题转化为平面内点与点之间的距离关系是常用的方法。探析此例的关键在于三角形三边关系的联想,这是给质点确定活动范围的中介。

二、利用对称思想确定质点位置

例3 如图3,正方形ABCD中,AB=4,E为AB上一点,AE=1,P为BD边上一动点,求PA+EP的最小值。

解析 连结CE交BD于点P1,连结AP1,由正方形的性质知,A点关于BD的对称点为C,依据对称性质易知,动点P在P1点时,P1A+EP1取最小值。即P1A+EP1=CE= =5。

注 利用轴对称性质求距离之和最值问题是常用的方法,既易于学生动手操作,还具有作图功效。勾股定理是解决此类问题的主要手段。

例4 如图4,AB是O的直径,AB=2,OC是O的半径,OCAB,点D在AC上,AD=2CD,点P是半径OC上的一个动点。求AP+PD的最小值。

解析 连结BD交OC于点P1,连结AP1、AD。依据轴对称的知识易知当点P动到点P1取最小值。

OCAB,∠AOC=90°。 AD=2CD,

∠AOD=60°。OA=OD,∠OAD=60°。

AB是O的直径,∠ADB=90°,

小结 距离之和最小值问题常以质点运动为背景,解决这类问题,有时需要设置动点场景(如:例1、例2),进行建模处理;有时需要将假想的动点位置特殊化(如:例3、例4)。

总之,借助于数形结合思想和对称思想是求解的关键。若遇求解空间质点运动的距离之和最值问题,仍可仿此进行,本文不再赘述。

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