“化”于练,“归”于思

【摘要】数学思想越来越多的在新授过程中被重视，而在练习时却很少见到。然而，化归思想在练习中却是举足轻重的作用，那么如何在练习中体现化归思想，使数学思想得到不断的延续呢？本文将以《圆》中的练习案例，通过思维的不断来回训练，用“集成”的眼光关注整体等策略，把化归思想深入学生的学习中，为学生学习所用。

【关键词】化归思想;思维;数学模型;整体思想

新课程标准由原来的“双基”变成了现在的“四基”，增加了“基本思想”和“基本活动经验”。显然，“基本思想”和“基本活动经验”越来越被重视，只有学生在学习中获得数学的基本思想方法才具有较高的数学素养，才适应时展的需要。众多的数学思想方法中，化归思想是一般化的数学思想方法，也是攻克各种复杂问题的法宝之一。在现实教学中，老师们越来越多的感受到了化归思想的重要性，而且在新授过程中也能有意识地培养学生的化归思想，但在新授结束后，化归思想的渗透也就戛然而止，总给人一种意犹未尽的感觉。那么如何在练习设计中也能较好地体现化归思想呢？笔者认为，我们不妨从以下几点入手：

一、关注思维来回，实现实际问题与数学模型的相互转化。

1.操作抽象，架构实际问题到数学模型的桥梁

教材的设计，非常合理地安排了相关习题，如在学习了圆的周长后，就出现了这样的题目：（作业本P15）

本题最关键的就是寻找它的目标模型――求顶点A在旋转时所经过的路程。其实是简单的一条线段绕其端点旋转一定角度后，另一端点所经过的路程。而这个活动过程，其实就是圆的形成性定义――当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆的真实诠释。所以可以进行如下环节：

第一层次：动手操作，发现本质联系

师：请你用学具演示三角形绕定点C顺时针旋转的过程。边旋转边思考：

①旋转时，关键是什么？三角形哪些地方是没有用的？去除这些部分结果还一样吗？

②这个过程和我们以前学过的什么是相似的？顶点A在旋转时所经过的路程是什么图形？

通过这样的操作，学生可以去除非本质信息。发现这和绳子画圆情况一样，也就是一条线绕着一个端点在旋转。为实际问题和目标模型的转化奠定基础。

第二层次：转化和解答，利用数学模型求解

有了上面的发现，学生就自然把实际问题转化为圆的知识，即经过的路程其实就是线段AC绕点C旋转后，点A所经过的路程其实就是圆弧，而旋转的角度和等边三角形的60°角有关，正好是120°，而120°是整个圆的三分之二。所以所走的路程是半径为1dm的圆周长的三分之二。把三角形绕一个顶点旋转后另一个顶点所走的路程，通过化归思想，转化为线段绕一个端点旋转后另一个端点所走的路程，也就是归结于圆的形成性定义，这样问题就迎刃而解了。

这样的情况还有很多，我们要引导学生多进行这样的转化。比如洒水车规定时间内洒过的路面的面积，它的数学模型就是长方形的面积，洒水的宽度就是长方形的宽，经过的距离就是长方形的长;村庄饮水铺水管，怎样使成本最少（水管最短），它的数学模型是过直线外一点所有线段中，垂直线段最短。

2.有去有回，拓宽数学模型在实际问题中的应用

一种数学模型，往往不是只正对一题的，它其实在很多地方都适用，如果就以从实际问题抽象成数学模型这样为止的话，我想这样的训练无疑是单向的，也是封闭。那么当学生遇到其他题目，就不会有这种转化的意识，所以引导学生进行反思，这样的数学模型可以解决哪些数学问题，让学生思维有去有回，才是真正的体现了这种数学思想的价值。

比如学生在进行圆的周长的巩固练习时，会碰到这样的题目：一个羊圈的半径是15米，要用多长的粗铁丝才能把羊圈围上3圈？解答此题时，肯定会让学生从实际问题中抽象出数学模型，也就是求3个半径为15米的圆的周长。学生利用模型规律轻松解决本题后，我们不妨反过来，让学生说说：像这样除了利用圆的周长解决此题之外，我们还能解决生活中哪些问题呢？你能举例说明吗？此时，学生在思考的是数学模型的具体直观现象。比如，一头羊用5米长的绳子栓在一棵树上，绕着走一圈，走的路径是多少;李爷爷用3米长的铁丝，围成一个圆形的菜园，它的半径是多少;当然，数学模型还有很多，比如圆环的面积计算，我们可以解决小路的面积，可以解决圆环饰品的大小等等。

二、关注整体思想，实现形与形的互通

1.借助分割法，把不规则图形转化成规则图形，不断渗透化归思想

比如当学生遇到不规则图形时，不是盲目地进行计算，这样只会使计算非常的繁琐，甚至会降低计算正确率。而是先进行分割，把不规则图形分割成若干份。然后尝试平移、旋转或对称等运动形式，抓住这些运动时大小是不会改变的。看看能否把不规则图形通过转换，重组成规则图形，从而解决问题，这样的方法就是化归思想的体现。

如：（右图），一看这个题目，有些学生觉得无从下手，部分学生会在中间加条辅助线，把阴影部分分成两部分，然后经过繁杂的过程计算出它的面积：

①的面积：3.14×102÷2=157（cm2）

②的面积：3.14×102÷4=78.6（cm2）

20×10=200（cm2）

200-78.6×2=43（cm2）

总面积：157+43=200（cm2）

然而细观察分析，这题我们完全可以运用化归思想，通过分割，把上面的半圆分成2部分，然后通过旋转，四分之一的扇形分块填补到下面的扇形中，这样把不规则的阴影部分重组成长方形，然后计算它的面积。如图：

这样，不规则的阴影部分通过平移，可以拼成一个完整的长方形。从而就可以简便计算：总面积：20×10=200（cm2）

这里的分割法就是此题的“关系键”，通过分割――尝试运动――重组，把不规则图形的计算转换成以前学过的、会计算的规则图形，不但降低了计算的难度，还能提高学生学习的兴趣。

2.借助想象，把部分图形还原成整体图形，不断深化化归思想

《课程标准》指出：教师的教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。这说明，任何的学习，都要把学生陌生的内容转化为学生熟悉的内容，化生为熟，有利于学生的学习和探究。那么当学生在遇到变式题目时，就可以先让学生观察不会的图形与学过的图形有什么关联，然后想一想，能把陌生的图形转化成学过的图形吗？然后动手补一补加以证明。这就是化归思想的体现。可见，在练习时，合理运用化归思想，可以帮助学生更简便地解决问题：

如：六年级上册《圆的周长》中有这样题目：求中间红色部分的周长是多长？

学生都能知道周长在哪里，却不会，因为没学过求圆弧长度的方法。但是学生已经会求圆的周长，只是他们没有把两者联系起来。此时我们不妨先让学生进行想象：这个周长和我们学过的什么图像类似，？能进行补一补，补成这个图像吗？它与这个图形有什么关系呢？学生通过想象，补形之后（如右图。）原来一条弧的长度是这个圆的周长的1/4，而圆的半径就是正方形的边长。把原本陌生的圆弧的长度，转变成学生熟悉的图形，从而使问题得以解决。

这里运用了先想象，再补形，然后转化，把陌生的圆弧转化成熟悉的圆的周长，明白求圆弧的长度计算，可以借助学生熟悉的圆的周长计算方法，计算出圆弧的长度。

其实，像这样将分散的或部分的知识放入整体中，会使解题更加的浅显易懂。如求右图阴影部分的面积，我们就可以关注其整体部分，将阴影部分放入三角形和小正方形中，就可以用SBCG+SFCDE-SBDE的方法求出面积。

再如3（x-4）=24，解方程时就要把x-4看做一个整体;这样的方法尤其到初中的姐方程组作用更大。

总之，用化归的方法解决问题，能使问题迎刃而解。培养化归思想不是一朝一夕的，它需要持之以恒，作为教师，必然都知道化归思想对学生学习的重要性。不仅是课堂教学要有意识地渗透化归思想，在练习时也要引导学生运用化归思想解决题目。通过练习的设计，让化归思想贯穿整堂课的始末，甚至是延续到课外。但是应用数学化归与转化的方法去解决有关数学问题时，没有一个统一的模式可以遵循。因此，我们还是要根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求出有利于问题解决的化归途径和方法。

参考文献：

[1] 王逸卿.习题设计需“有去有回”.教学月刊.2014（10）;

[2] 梁秋莲.让学生在数学学习中获得数学的基本思想. 小学数学教育.2012（3）;

[5] 数学课程标准.人民教育出版社.