《导数的概念》教学案例

一、案例背景

1．指导思想

教贵善诱，引而不发，开而弗达；学贵善思，学思结合，以思促学。学生学习的过程实际上就是学生主动获取、整理、储存、运用知识和获得运用能力的过程。

2．教学内容

“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果。导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.本节课属于理论教学，主要通过教师讲解、演示，学生观察、思考，从而完成教学目标。

3．教学目标

在知识方面，让学生理解导数的概念,，掌握用定义求导数的方法。在能力方，重在培养学生领悟函数思想和无限逼近的极限思想,培养学生归纳、抽象和概括的能力。在情感方面,通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点。接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

4．教学重、难点

重点：导数的概念的形成过程。

难点：对导数概念的理解。

5．学情分析

学生对函数的极限已经熟悉,在认知能力上对事物的感性认识较为丰富；在技能方面，有较强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.。因此，教师从两个具体背景出发，借助多媒体形象的演示，就能促使学生很自然地从感性认识向理性认识发展，从形象思维向抽象思维转型。

二、案例叙述

一直以来，传统观念都给数学课蒙上了“枯燥、乏味”的面纱，这使数学教师在授课前就背负着较大的压力，所以如何让数学课在轻松愉快的氛围中进行，使学生积极兴奋地投入数学学习则成为关键。

笔者将本次课教学内容分为以下四个环节：

（一）创设情境，导入新课

教师提出：任何知识的由来都具备着一定的历史背景，绝非空穴来风。那么提到导数，我们就要一同追溯到17世纪的欧洲.当时文艺复兴带来了人们思想的觉醒,繁琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁.封建社会开始解体，取而代之的是资本主义社会,生产力大大解放，促进技术科学和数学的急速发展。尤其是当时航海业的发展特别迅猛（这时我用多媒体动画给出展示）。

接着，我说：人们希望确定出航船只在某一时刻的航向，即运动轨迹（曲线）上某一点的切线方向（斜率），它给数学家提出了新的挑战。把实际问题转化为数学问题交给大家。

（二）实例分析，舞动思维

1．实例：求曲线切线的斜率

老师借助多媒体演示，先向学生介绍一般曲线的切线概念。

（多媒体演示，重在引导启发。设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生。）

使学生自己发现，解决问题。既然切线是割线变化的某种极限状态，那么切线斜率就是割线斜率在同一变化状态下的极限。如果我们把记为割线ＭＮ的倾角，当点Ｎ沿曲线L趋向于点Ｍ，即ｘ０时，如果割线ＭＮ的极限位置ＭＴ的倾角为α，则ＭＴ的斜率

2.实例：求变速直线运动在某一时刻的瞬时速度

已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s（t）（ｓ表示位移，t表示时间），求物体在ｔ０时刻的速度。

在上面学习的基础上，提出这个问题并不难解决，因此我把该任务大胆的交给学生让学生以小组为单位交流讨论,寻求解决方案。在学生充分讨论后，老师进行个别提问，让学生谈谈自己的想法。绝大多数学生都能很顺利的给出正确回答，老师这时应对学生的积极思考和提出的解决方案给与充分肯定，并汇总大家的意见，上升到数学思想的高度再次阐述整个解题过程。

3．讲授定义，拓宽知识与实际的联系

上述两个例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的实际意义，单从数量关系上看，它们并没有区别，解决问题所涉及的运算也是相同的。所以在学习研究了前两个实例之后，给学生提出问题:这两个案例的共同之处是什么？以小组为单位回答。从而顺水推舟地引出导数概念，完全符合学生的认知规律，使学生对概念的理解更透彻、深刻。同时让学生理解：导数ｆ＇（ｘ０）反映了函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的变化程度，我们称之为函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的变化率，它反映了因变量相对于自变量的变化快慢程度。除此之外，我向学生介绍边际成本，边际分析,强调导数在经济学中的实际应用和重要性，尤其是边际分析的预见性对经济活动具有指导意义。

（三）新知应用，实施反馈

例：根椐定义计算函数ｙ＝ｘ２在点ｘ=0，ｘ=1处的导数。引导学生结合定义解决。让学生先思考，老师略加指导,并给出第一问详细规范的解体过程,要求学生思考求解导数的一般步骤。

（四）巧妙设疑，圆满结束

教学内容完成后，让学生畅谈学习收获与感想，教师做简单总结，同时对学生的积极参与给予充分肯定。最后，我提出：以后我们就要按这样的方法去计算每一个函数的导数！随即我在黑板上给出了一些复杂的函数。这时学生发出极为不满的声音。我笑着说，用这样的方法处理问题时，的确相当复杂困难，那么我们就有必要寻求更为便捷的方法。到底是什么方法呢？一个巧妙的设疑，激发学生的进一步求知。

三、教学反思

1.合理的实际问题切入，提高学生的数学探索真理的兴趣

本案例是以“知识与生活的联系”为出发点，通过构建情境，从实际问题切入，设计学生活动，让学生体验数学，感知数学。把教材内容转化为具有潜在意义的问题形式，使学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为猜想、期待理由和验证的过程，从而充分激发学生探索真理的。

2.合理的教学手段，教师的主导、学生的主体地位均得到充分的体现

根据新课标诱思探究的要求，在实际操作上我遵循认识过程的规律，把知识的发生、发展、阐述的过程体现出来，敢于把课堂放手给学生。整节课师生互动、相互提高，创意设计和实际流程也达到了教学目标。大家始终在和谐愉快的气氛中完成了教学过程。