基于小波基的压缩感知重构算法设计

摘 要： 针对传统重构理论下对硬件设备的高要求和高损耗问题，提出基于小波基的压缩感知重构算法，利用小波变换在图像压缩重构上的优势，选取合适的小波基作为稀疏基，对一维信号和二维图像采用正交匹配追踪（OMP）算法，进行信号的压缩和重构，并对算法进行相应的改进。实验表明，压缩感知理论用于数字信号和数字图像处理有着显著的优势。

关键词： 压缩感知； 小波分析； 稀疏基； 测量矩阵； 重构信号

中图分类号：TN911.73?34； TQ028.1 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）13?0059?04

Abstract： For hardware device has high requirement and high loss according to the traditional reconstruction theory， a compressed sensing reconstruction algorithm based on wavelet basis is put forward. In the algorithm， the advantage of wavelet translation in image compression and reconstruction is used to select the suitable wavelet basis as the sparse basis， and the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm is adopted for one?dimensional signal and two?dimensional image to compress and reconstruct the signal. The algorithm was improved correspondingly. The experimental results show that the compressed sensing theory has a prominent advantage for digital signal and digital image processing.

Keywords： compressed sensing； wavelet analysis； sparse basis； measurement matrix； reconstruction signal

0 引 言

随着信息技术的飞速发展，人们对信息量的需求剧增，以信息带宽为基础的信号处理框架要求的采样频率和处理速度也越来越高，传统的Nyquist采样已经不能满足人们的需求[1]。而近年来出现的压缩感知理论能够有效规避传统采样的许多难题，给信号的采样、存储、传输和处理带来巨大的便利和经济效益，被越来越多的领域接受和应用[2?3]。小波分析在时域和频域上同时具有良好的局部化性质，加上小波的多分辨率分析特性，使之能更好地应用于图像处理领域。压缩感知理论在信号压缩过程中，对稀疏矩阵和观测矩阵的选取最为关键，故将小波基作为稀疏矩阵进行压缩，对图像处理有着重要意义[4]。

本文将压缩感知理论与小波理论相结合，选取合适的小波基作为稀疏基，对一维信号和二维图像进行信号的压缩和重构，并对算法进行了相应的改进。

1 压缩感知算法与小波理论分析

1.1 压缩感知算法实现

传统的压缩采样重构理论包括两个基本过程：编码和解码。压缩感知理论也不例外，但在实现方式上有所区别，直接对信号进行较少采样的同时得到信号的压缩表示，省去了点采样的中间过程，在节省了采样频率和传输成本的情况下，达到了集采样与压缩同时进行的目的。另外，该理论还指出了将模拟信号直接采样压缩为数字形式的有效途径，具有直接信息采样特性[3]。

压缩感知算法的优势主要体现在以下方面：

（1） 非自适应性（Non?Adaptive），一开始就可以传输长度较短的信号，甚至突破采样定理的极限。

（2） 抗干扰。的任何一项都是重要的，或者说不重要的。丢失了某几项，仍然可以完美重构。

（3） 需要最少的采样数据，计算速度得到改善。

1.2 小波变换基本理论分析

小波变换具有多分辨率的特点，且在时频域同时具有表征信号特征的能力，是一种窗口面积固定不变但时间窗和频率窗都可以改变的局部化分析方法。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，使小波变换具有对信号的自适应性，很适合探测正常信号中夹带的瞬态现象并显示其成分[5]。

小波分析在图像处理应用中的主要思想：首先，将图像信号进行小波变换，得到不同尺度下的一系列系数；再对这些小波系数进行分析，根据实验者不同的目的和需要，用传统的图像处理方法或者更符合小波变换的新方法对小波系数进行必要的处理；最后对这些处理后的小波系数进行反变换，就得到了所需要的目标图像。

2 图像质量评价

图像质量的含义主要包括图像的逼真度和可读性两方面。图像质量的好坏有一定的评价方法，在传统的图像质量评价方法中，主要包括两种：

（1） 主观评价。通常用峰值信噪比（PSNR）判断图像质量的办法用得最多，但有时候PSNR高并不等于图像的主观质量好。所以，有时候需要以人作为图像观察者对图像的优劣作出评价和判断。对于恢复图像中得到明显改善的形状可以通过这种方法评价，但这种方法带有一定的主观性，适用于明显的去噪效果。

3 压缩感知算法对一维信号的压缩重构

一维信号结构比较简单，通过一定的线性变换（如傅里叶变换，余弦变换）下具有很好的稀疏性，同时，一维信号的频率分量并不多，信号的平稳性和光滑性都很好，通过稀疏变换后非零值很少，一般都能得到很理想的重构效果。

3.1 传统算法与压缩感知算法的重构比较

压缩感知理论与传统采样理论的最大区别在于能极大地缩短采样和压缩时间，节省硬件的消耗，却又能获得不亚于传统方法的重构效果[7]。本文中选取的是一个长度为的一维信号选择傅里叶基作为稀疏基，分别采用传统的正交变换算法和本文的压缩感知算法对原信号进行重构，重构过程和结果如图1，图2所示。

图2中的是信号在傅里叶基下的稀疏表示。由图可知，信号在傅里叶基下的稀疏度为选取的测量矩阵是的高斯随机矩阵，与傅里叶基能满足不相关准则。其中，满足。

定义重构误差（为重构后的信号），对比传统的重构算法，压缩感知算法的重构误差更低，效果也更理想，如图3所示。这里传统算法中默认原信号就是采样好的信号，只需对其进行压缩，找出频域幅度最大的个值，再用逆方法重构，比实际应用中的传统方法要简便得多，效果也理想得多。因此，可以得出结论，压缩感知算法是一个集压缩、采样、重构于一体的，只要基选取合适，重构算法合理，它的优势将是优于传统算法的。

3.2 值对重构效果的影响

压缩感知理论中，测量矩阵是一个的矩阵，其中值的选择非常关键，它关系到对信号压缩采样的质量，因为最终的信号是从这个值中恢复出来的，如果选取不当，就会破坏原信号的信息，重构也无法实现。表1列出的是当选取不同的值时，一维信号的重构误差err的值（数量级10-16）。

表1表明，当时重构误差比较低。值太小时，重构效果不是很理想，甚至容易产生重构错误。但如果值太大，则对信号的压缩度不高，传输和存储中消耗的时间也更多，所以，选取一个折衷的值才能获得不错的重构结果。更多的值与重构误差的关系如图4所示。

3.3 不同稀疏基下的信号重构

不同的稀疏基对信号的稀疏程度不同，获得的非零值的个数和大小也不同，对重构结果有一定的影响，图5表示的是相同的信号在余弦基下稀疏化结果和重构结果（M取值为32）。

相比傅里叶基，余弦基下的稀疏化效果不如傅里叶基明显，重构误差也很大，证明了稀疏基的选择同样很关键。

4 压缩感知算法对二维图像的压缩重构

4.1 傅里叶稀疏基下的图像重构

二维图像下的重构方法与一维类似，可以把二维图像看成是列的一维信号，用一维重构的方法一列列重构出来。图6是当稀疏矩阵是傅里叶基时的压缩和重构效果图。

实验中，原图是一个256×256的灰度图像，测量矩阵依然选取随机高斯矩阵，其大小为重构所用的时间为100 s以内。由图6可知，利用压缩感知方法重构的图像基本满足视觉要求，MSE和PSNR也较合理，但依然还有一定的噪点，尤其是图6（c）中框出的部分，出现了较多的杂点，且成列分布状况，这和重构中OMP算法有关，算法中采取的是对图像的列向量依次进行重构，如果在某一列或某几列的重构中发生了错误，则容易造成像素移位，从而形成如图6中所示的杂点。

为了改善上述问题，本实验针对重构算法做了相应的改进，分别对行向量和列向量进行重构，再将两者进行一定的线性叠加，就能抑制大量杂点的产生，达到弱化噪声的效果，再通过合适的平滑处理，杂点不再变得明显，视觉效果得到很好的改善。

4.2 离散余弦基下的图像重构

离散余弦变换对图像的压缩性能也比较好，根据余弦变换，构造出余弦作稀疏基：

构造一个的余弦基作为稀疏矩阵结果如图7所示。相对于傅里叶基，离散余弦基下图像的稀疏性更强，能量相对更集中，更利于信号的重构，迭代时间比傅里叶基下更快，信噪比也更高。

4.3 小波基下的图像重构

经过多次小波变换后，图像的能量主要集中在左上角，且层数越多，能量越集中，信号的稀疏性也更强，这是小波基优于其他基的地方。随着阶数的升高，小波变换的平滑性越好，信号不容易产生突变，而相对于db小波，symN小波的对称性更好，相位失真小，能很好地弥补OMP算法非线性变换的缺陷，是重构效果中最理想的，具体数据参照表2。

4.4 测量矩阵对恢复性能的影响及改进措施

测量矩阵与稀疏变换基的不相干特性是压缩感知理论具有良好性能的基础。在实际的应用中，由于随机高斯分布的测量矩阵存在存储矩阵元素容量巨大、计算复杂度高的缺点。对于二维图像，由于像素点多，数值分散，因此需要存储很多的数值，所以对二维图像并不适用。实验中，选取的随机高斯矩阵重构效果基本能满足要求，重构的时间在80 s左右，如果选得太大，重构的清晰度固然会有很大的改善，但是是以时间和资源为代价的；但是如果设置的太小，采样压缩后会遗漏掉图像的很多有用信息，最终影响图像的复原效果。

针对测量矩阵的改善问题，将伪高斯矩阵和部分傅里叶方法结合在一起，用结构化的随机测量矩阵设计方法，这种测量矩阵具有与所有基不相关的特性，同时也有较快的计算速度，能够很好地解决上述问题。

5 结 论

本文将压缩感知理论与小波理论相结合，利用小波变换在图像压缩重构上的优势，选取合适的小波基作为稀疏基，对一维信号和二维图像采用正交匹配追踪算法（OMP），进行信号的压缩和重构，并对算法进行了相应的改进。通过实验验证了其良好的应用效果。但是，压缩感知理论对于OMP重构算法的最优化以及如何找到一种有效且快速的稀疏分解算法等问题还需要进一步深入研究。

参考文献

[1] 史久根，吴文婷，刘胜.基于压缩感知的图像重构算法[J].计算机工程，2014（2）：229?232.

[2] 徐萌萌.基于小波变换的图像融合算法研究[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2014.

[3] 曹利红，徐志京.基于多层小波变换的压缩感知图像快速复原算法研究[J].电子设计工程，2015（3）：176?178.

[4] 李博，郭树旭.一种改进的压缩感知重构算法研究[J].现代电子技术，2013，36（3）：70?73.

[5] CUI J J， JIA X， LIU J， et al. Image reconstruction based on compressed sensing with split bregman algorithm and fuzzy bases [J]. Advanced materials research， 2012， 508： 80?83.

[6] 王小刚，田小平，杨莎莎.基于压缩感知的图像融合算法研究[J].计算机测量与控制，2013（3）：788?790.

[7] 张宗福.基于压缩感知和改进自适应正交匹配的稀疏信号重构[J].计算机测量与控制，2014（5）：1568?1571.