拉格朗日乘数法中方程组的解法

The Solutions of the Equations in Lagrange Multiplier Method

Kong Xiangfeng

（西安邮电学院理学院，西安 710121）

（Xi'an Institute of Posts and Telecommunications College of Science，Xi'an 710121，China）

摘要： 拉格朗日乘数法依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的。本文主要介绍此类方程组的解法。

Abstract: In the paper, the skills is introduced how to solve the nonlinear solutions in Lagrange multiplier method.

关键词： 拉格朗日乘数法 条件极值 非线性方程组

Key words: Lagrange multiplier method；conditional extreme value；nonlinear solutions

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）27-0211-01

0引言

利用拉格朗日乘数法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的。解法的难度和技巧较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法。下面举例说明常见的解题技巧和方法。

1拉格朗日乘数法中方程组的解法

例1求函数u=xyz在下列约束条件下的极值■+■+■=■（x>0，y>0，z>0，a>0）。

解：设L（x，y，z，?姿）=xyz+?姿■+■+■-■.

令L■=yz-■=0 （1）L■=xz-■=0 （2）L■=xy-■=0 （3）L■=■+■+■-■=0 （4）

下面仅就此方程组的解法进行讨论，不具体求极值。

解法一：前三个方程都乘以相应缺少的变量，得

xyz-■=0 （5）xyz-■=0 （6）xyz-■=0 （7）■+■+■-■=0（8）

（5）+（6）+（7），得3xyz-?姿■+■+■=0，

把（8）代入得，xyz=■，

再分别把它们代入（5），（6），（7）得x=y=z=3a。

解法二：把（1），（2）改写为yz=■，xz=■，

因x>0，y>0，z>0，两式相除，得y=x。

同理，得y=z，从而，得x=y=z。再代入（4），得x=y=z=3a。

解法三：先解出?姿，把（4）代入（8）式，得?姿=3axyz

再把?姿分别代入（1），（2），（3），得x=y=z=3a。

解法四：从目标函数的构成及约束条件看，三个变量x，y，z呈现轮换对称性，因此必然有x=y=z，再代入（4），得x=y=z=3a

例2 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求坐标原点与这个椭圆的最长与最短距离。

解：椭圆上的任一点M（x，y，z）到原点的距离为d=■

于是问题就是求目标函数d=■在约束条件z=x2+y2和x+y+z=1下的极值。设L=x2+y2+z2+?姿（x2+y2-z）+?滋（x+y+z-1）

令L■=2x+2x?姿+?茁=0 （9）L■=2y+2y?姿+?茁=0 （10）L■=2z-?姿+?茁=0（11）L■=x■+y■-z=0 （12）L■=x+y+z-1=0（13）

（9）-（10），得（1+?姿）（x-y）=0

解之得?姿=-1或x=y，代入（9），得?茁=0

再把?姿=-1和?茁=0代入（11），得z=-■

由（12），知z?叟0，故?姿=-1应舍去。

再把x=y代入（12），得z=2x2，

代入（13），得2x2+2x-1=0解得x=■，

则z=2■■=2?芎■。

即得两个驻点M■■，■，2?芎■。

故它们就是所求的最近点和最远点，故

d■=■，d■=■。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系主编.《数学分析》（下）.北京.高等教育出版社，2001：166-168.