巧用数形结合思想

数与形的结合是数学学科最为突出的特点之一，在数学的学习过程中必须逐步学会用数形结合的方法来解决数学问题。下面举几例说明之。

例1：当m为何值时关于x的方程■=x+m有两个不等实数根？一个实数根？没有实数根？

分析：若将原方程有理化讨论方程2x2+2mx+m2-1=0在x∈A={x|1-x2≥0}上解的情况，则计算量大并且不容易得到正确答案。但若从图形方面去思考，问题便化归为讨论两曲线y=■（即x2+y2=1,y≥0）与y=x+m交点个数的情况，则问题就容易多了。

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图1 图2

解：在同一坐标系内作出曲线y=■和直线系y=x+m（如图1），则当1≤m＜■时原方程有两个不等实数根；当m=■或-1≤m＜1时原方程有一个实数根；当m＜-1或m＞■时原方程没有实数根。

例2：已知关于x的二次方程kx2-（2k+1）x+k2=0的两个根x1、x2满足-1＜x1＜1，1＜x2＜2，求实数k的取值范围。

分析：本题若联想到二次函数图象，则问题转化为考察二次函数f（x）=kx2+（2k+1）x+k2的图象与x轴的两个交点在什么情况下才各落在区间（-1,1）与（1,2）内，数形结合便可得到较为简便的解法。

解：联想到二次函数f（x）=kx2-（2k+1）x+k2的图象（如图2），那么原条件即f（-1）f（1）

■＜k＜■或■＜K＜■

例3：试证明，■+■≥■对于一切实数X成立。

分析：本题可从函数或形的角度去考察，设f（x）=■+■，显然函数的定义域是实数集合R，于是只要证明函数的最小值是■或者求出函数的值域是[■,∞）即可，因此可以利用导数知识求解。若从形的角度去考察，将原式变形为■+■可知，原不等式左边表示平面上动点P（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和，数形结合便可轻松求解。

证明：■+■=■+■表示动点P（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和（如图3），数形结合便知当动点P运动到两点A′（-3，-2）、B（5，3）联结线与x轴交点重合时，点P（x，0）到两定点A（-3，±2），B（5，±3）的距离之和取得最小值即A′、B两点的距离■。■+■≥■对于一切实数X成立。

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图3 图4

例4：①已知对于一切实数x都有k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|成立，求实数k的最大值。②x，y是任意实数，求u=|x+2| +|x-y|+|y-5|的最小值。

分析：这一组题都涉及到若干个绝对值的和的问题，通常方法是分段把绝对值符号去掉化为分段函数来解决。对于①可用这种方法解决，但对于②用这种方法就涉及多元函数问题，而且两个变量不便于分段，对于③就要把实数集合分成2n+3段来讨论，问题较为复杂。但从形的角度考虑，这三个问题都可以理解为数轴上的动点到若干个定点的距离之和，这样问题就容易解决了。

解①|x+2|+|x-2|+|x-4|即数轴上的动点P（x）到三个定点A（-2）、B（2）、C（4）距离之和（如图4），当且仅当点P与点B重合时|x+2|+|x-2|+|x-4|取得最小值6，因此，只要k≤6则k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|。k=6就是所求的最大值。

解②即|x+2|+|x-y|+|y-5|数轴上的两个动点P（x）、Q（y）与两个定点A（-2）、B（5）中P与A、P与Q、Q与B三段距离之和，数形结合易知，当-2≤x≤y≤5时u=|x+2|+|x-y|+|y-5|取得最小值7。