溶液密度的另一种计算

把盐（NaCl）溶解于水是生活中的常见现象，然而其中也有不同寻常之处，溶解前后整个物质的体积将发生变化，即V盐+V水≠V盐溶液 。这当中的差值导致即使已知NaCl的质量、密度以及H2O的质量（将当前温度下水的密度视为1g/cm3），也无法通过理论直接计算完全溶解后的溶液密度（需要测量混合后的溶液体积）。

如何求出体积变化的差值？经过一段时间的思考，我们推导出一个公式：V=（ρ水-ρ质）（M水M质）/ρ质ρ水（M水+M质）。

一、研究思路

先寻找溶解前后的不变量，最容易想到的是质量守恒与能量守恒，难点在于如何运用能量守恒定律。根据现有的理论，溶解常常伴随着能量的变化。

查阅资料后，我们有了这样的理解：溶质原本相对紧密地结合在一起，溶解后被均匀地分散到溶液中，这个过程是吸热的，可类比为物质由固态变为液态的过程。接着溶质又与水结合，形成水合分子或水合离子，并在结合过程中放热。

某种物质究竟是放热还是吸热取决于上述两个过程谁占上风，我们认为可将其视为广义的化学能与热能的相互转化。除此之外，还有一个非常重要的势能――重力势能。在整个过程中大多数能量变化是化学能与热能的相互转化，重力势能的变化微乎其微，可视为不变量。找到了问题的关键所在，就可进行理论推导。

二、理论推导

设现有水质量为Ma，溶质质量为Mb，溶液密度为ρ。此刻我们需要建立一个特殊的物理模型：假设有一个底面为正方形的容器，且底面积为1m2。先将溶质变为一个分布均匀的长方体，放置在容器底部（理想状态下）。溶质体积为Mb/ρ，又h=v/s，那么s等于1，推导出h=v（在数值上相等），那么重心所在高度为1/2h，即Mb/2ρ，其具有的重力势能E=mgh=Mb2g/2ρ。――①

紧接着加水，让水在溶质之上也形成一个长方体（假设整个过程不发生溶解），那么水层的高度等于Mb/ρ+Ma，水的重心在高度为Mb/ρ+Ma/2处，水具有的重力势能E=mgh=Mag（Mb/ρ+Ma/2）=（MaMb g /ρ+Ma2g/2）。――②

让这一刻定格，并将其作为初始态，那么整个体系所具有的重力势能为①+②，整理后得，E=（Mb2g+2Ma Mb g +ρMa2g）/2ρ。随后分析终态，即溶质已完全溶解，设此刻溶液的高度为t，则溶液体积为t（数值上相等），体系所具有的重力势能为（Ma+Mb）gt/2。――③

由于③与初始态的重力势能相同即可推出，t=（Mb2+2Ma Mb+ρMa2）/ρ（Ma+Mb）。用t减去原体积可得出V=（1-ρ）（MaMb ）/ρ（Ma+Mb）。通过这个公式可以明了地看出，当溶质的密度大于水时，溶解后体积减小，如NaCl；反之则增大，如氨水等；相等则不变化，与实际吻合。则ρ溶液=M总/t=ρ（Ma+Mb）2/（Mb2+2Ma Mb+ρMa2）。

通过上网查资料得知，在20℃下，饱和食盐水密度为1.333g/cm2，食盐的密度为2.165g/cm2，该温度下100g水可溶36g盐，带入推导的公式，结果与事实吻合。由于无论在任何形状的容器内溶解任何形状的溶质，溶解后的V相等，ρ溶液相等，所以此结论具有普遍性。

鉴于不同温度下水的密度不一，同样的思路可以计算出：

ρ溶液=M总/t=ρ水ρ质（Ma+Mb）2/（ρ水Mb2+2Ma Mbρ水+ρ质Ma2），

V=（ρ水-ρ质）（M水M质）/ρ质ρ水（M水+M质）。对不同溶剂一样适用。

三、总结与反思

推理的过程及结果令人兴奋，但我们仍有疑虑，重力势能是否真的完全不改变？我们无法在理论上给予证明，也难以用简单的仪器得到精准的数据，这是我们此次探讨中的不足之处。但计算结果与事实吻合，应当可以在一定程度上解释这个问题。（指导老师：曹洪程 魏建春）