托尔斯泰的割草问题

19世纪时，俄国有位大文豪叫列夫・托尔斯泰（1828-1910），他一生写了不少文学名著，如《战争与和平》《复活》等，对世界文学产生了巨大的影响，拥有千千万万的读者。

这位大文豪又是一个“数学迷”。每当创作余暇，只要见到有趣的数学题，他就会放下其他事情，沉湎于数学演算之中。他还动手编了许多数学题，这些题目都很有趣，而且都不太难，又富于思考性，因此在俄罗斯少年中广泛流传。

下面我们就来研究托尔斯泰提出的“割草问题”。原题如下：

一组割草人，要把两片草地割完。大的一片草地是小的一片草地的2倍.上半天大家都在大片地上工作，午后分成两组，一半人在大片地上工作，到傍晚正好割完。另一半人在小片地上割草，到傍晚时还剩一小块，这一小块只要留下一个人第二天正好割完，问这组割草人共有几人？（假设每个割草人的割草速度相同）

这是托尔斯泰最为欣赏的一个数学题。他经常向人提起这个题目，并花费了许多时间去寻找它的各种解法。相传托尔斯泰得到了这样几种不同的解答：

【方法一】大草地上，全组人割了一上午，一半人又割了一下午才把草割完。如果把大草地的面积看作单位“1”，那么一半的人在半天时间割草的面积就是。

在小草地上，另一半人工作了一下午。由于每人的工作效率相同，这样，他们在半天时间里的割草面积也是，所以还剩下（-）=。这样小块地上剩下的草第二天由一个人割完，说明每个人每天割草面积是。

用第一天全组人割草的总面积除以每人每天的割草面积就可以求出参加割草的全组人数：8（人）

【方法二】同学们，对于方法一，你是否有计算方面的困难，因为我们还没有学到分数的四则计算呢。不要紧，我们把前面的意思更换一个角度来理解。假设半组人每天割草面积为1份，那么全组人半天在大草地上割草面积为2份，所以大草地上的割草量为1+2=3份。因为大草地的面积比小草地大1倍，因此小草地的割草量为1.5份。在这1.5份的割草量总有半组人半天割草面积1份，剩下的0.5份就是一个人在第二天完成的割草面积。

说明1个人一天割草面积是0.5份，全组人一天的割草面积是4份，由此可以推算出全组人数为4.5=8（人）

【方法三】假设全部人在一起劳动，大块地下午一半人用了半天，如果全部人都去，刚好时间减半，用，即割完大块用天，小块是大块的一半，若一起上用的时间是大块地的一半，即天，完成全部任务用时+=天，实际上全体工作一天，剩下全组天的工作量，由一人1天完成，可以推算出一人是全体的，则全组共有8（人）。

从上面三种解法可以看出，尽管各具特色，但不能忽略解答这道“割草问题”的总体思路是设法求出全组人一天完成的割草面积与一人一天完成的割草面积的关系，再从这个比例关系中换算得到全组的人数。

据说，托尔斯泰特别满意的法是方法一与方法二，因为它们都是用画图的方法来解决，很好理解，只要画出这个图形，题目的答案也就呼之即出了。