从高考题中来 到高考题中去

高考考查的是高中阶段学习的重点知识和解题方法，浙江省高考数学卷涉及的知识点一般会占《浙江省普通高考考试说明》（数学部分）所列知识点的75%左右，而且不同年份的高考卷考查的知识点有相当一部分是重复的.命题者常常会对高考陈题进行改编，使它们“脱胎换骨”，成为新的试题. 主要的改编方式有四种，接下来，我们就逐一进行分析.

改编方式一：改变题干，不改设问

命题者有时会改变一道题的题干——比如设置一个新的函数解析式，但不改变题目的设问.这种改编方式在高考命题中最为常见.

例1 [2010年高考数学湖北卷（文科）第21题] 设函数f（x）=x3-x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时， f′（x1）≠f′（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.

例2 [2007年高考数学全国新课标卷（理科）第22题] 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a

分析：例1这道高考题的第（3）问其实来自例2的第（2）问，比较可知，例1的第（3）问与例2的第（2）问都提到了过某一点可作曲线的三条不同切线，并要求根据这个条件讨论参数的取值范围，其设问方式是一致的.但曲线所对应的函数却不同，例2中的函数是具体函数f（x）=x3-x，例1中的函数则被命题者设置为含参函数f（x）=x3-x2+bx+c.这种改编方式就属于“改变题干，不改设问”.

改编方式二：条件设问，交换位置

交换高考题中的条件和设问的位置，从而构造出一个新的试题，也是命题者常用的改编方式之一.

例3 [2009年高考数学全国大纲卷（理科）第6题] 设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为

（A） -2 （B） -2 （C） -1 （D） 1-

例4 [2008年高考数学浙江卷（理科）第9题] 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则c的最大值是

（A） 1 （B） 2 （C） （D）

分析：单位向量、数量积、夹角、模的最值是向量问题永恒的“主题”，以此为背景的高考题层出不穷.原题例4的条件“（a-c）·（b-c）=0”被改编为例3的设问“求（a-c）·（b-c）的最小值”，而例4中要求解答的“c的最大值”则被改编为例3的条件“c为单位向量”. 条件设问一交换，一道崭新的试题由此产生.

改编方式三：转换背景，保留实质

命题者常用的另一种改编方式是转换问题的背景，但不改变其他条件和设问.这种改编方式常见于解析几何问题，命题者把圆改成圆锥曲线，把圆锥曲线改为圆，或者把一种圆锥曲线换成另一种圆锥曲线，就得到了新的命题.

例5 [2009年高考数学辽宁卷（理科）第20题] 如图1所示，椭圆C过点A1，，两个焦点为（-1，0），（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

例6 [2004年高考数学北京卷（理科）第17题第（2）问] 如图2所示，过抛物线y2=2px （p>0）上一定点P（x0，y0） （y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

例7 [2005年高考数学江西卷（文科）第21题第（1）问] 如图3所示，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB. 若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

分析： 例5这道高考题的第（2）问同时参考了例6、例7这两道高考题.

和例6相比较，命题者把抛物线背景改成了椭圆，用具体数值代替了字母，其他方面几乎没有作改动.两题的条件都是过圆锥曲线上的定点作两条直线与圆锥曲线相交，且这两条直线的斜率互为相反数.两题的设问都是联结两直线与圆锥曲线的交点，要求证明该直线的斜率为非零常数.这两题的解法也是相同的，都要联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理求出其中一个交点的坐标，再由两条直线斜率互为相反数求出另一个交点的坐标，最后根据两点的坐标确定所求直线的斜率.

在例7中， 由MA=MB可知AMB （见图3）为等腰三角形，故∠MAB=∠MBA. 又A，B在x轴上，所以∠MAB+∠MBx=π，所以ME与MF的倾斜角互补，斜率互为相反数.比较可知，例6和例7几乎完全一样，其解题思路和方法也基本相同.

改编方式四：穿上“外套”，沿用解法

有些经典的数学问题题目简洁，解法多样，在培养同学们的思维能力方面起着非常重要的作用.命题者会给这类题目穿上各种“外套”，把它转变成新的试题.但层层“剥壳”之后，我们会发现，经典问题的解法就是解决新问题的关键方法.

例8 [2009年高考数学山东卷（理科）第20题] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r （b>0且b≠1，b，r均为常数）的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=2（log2 an+1） （n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立.

例9 [1985年高考数学上海卷（理科）第8题] 求证：（1+1）·1+·1+·…·1+>.

分析： 例8看似是一道创新题，但它的第（2）问其实来自例9. 例9看似平凡却意蕴丰富，可以用数学归纳法、放缩法、构造对偶式、构造数列等方法解决，其实质就是考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.

对例8的第（1）问，由an=Sn-Sn-1 （n≥2）可得{an}是以b为公比的等比数列，再由=b解得r=-1，由此可求得an=2n-1，所以bn=2n （n∈N*）. 因此，例8的第（2）问就转化为证明··…·>成立，即考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.

两题的本质区别在于数列的通项公式不同，其证明方法是完全一致的.命题者给例9穿上了厚厚的“数列”外套，将它转变成例8，使其看上去复杂了很多.

通过上面的叙述，相信你已经明白了我们的良苦用心. 这些高考题看似不同，其实彼此间存在着很多联系，如果我们能进行对比分析、归类总结，就能举一反三、从容应对. 因此，在高考复习时，除了要重视教材，还应该重视研习历年高考真题，并有意识地注意以下几点：

（1） 在解答高考真题时，不能仅满足于求出问题的答案，而应该关注三个问题：解题思路是怎样获得的？有没有其他解法？哪种解法更简捷？

（2） 当遇到难题时，要问问自己：题目到底难在哪里？它考查了哪些知识点？解决类似问题的方法可以套用到这道题中吗？

（3） 做完高考真题后，我们要想想：以前做过类似的题目吗？如果能找到和这道高考题类似的题目，就拿来比较一下，找找它们之间的联系和区别：它们的相同之处和不同之处是什么？是条件不同问题相同、条件相同问题不同，还是题目不同解法相似？

（4） 不要孤立地看待一道道高考题. 我们可以总结一下：考查同一个知识点的问题的表述有哪些不同？反过来，不同的表述对应了哪些相同的实质？考查不同知识点的高考题有哪些相似之处？它们的解题思路有没有可能互相借鉴？

希望同学们能在这样的研习过程中，一点一滴地训练自己把握问题实质的能力，提高数学解题水平.