由一道力学题引发的思考题

静止在太空中的飞行器上,有一种装置,它利用电场加速带电粒子,形成向外发射的高速粒子流,从而对飞行器产生反冲力,使其获得加速度。已知飞行器质量为M,发射的是2价氧离子,发射离子的功率恒为P,加速的电压为U,每个氧离子的质量为m,元电荷量为e。不计发射氧离子后飞行器质量的变化,求:(1)射出的氧离子速度;

(2)每秒钟射出的氧离子数;(3)飞行器开始运动的加速度。

教师的解法:

(2)每秒射出的氧离子数

(3)以Δt时间出的氧离子为研究对象,Δm=nΔt・m,在力F作用下速度从0增大到v,由动量定理 FΔt = Δm - 0;FΔt = nΔt・mv - 0;F=P・由牛顿第三定律,氧离子对飞行器的反作用力F'=F,加速度

对于第(3)小题的解,教师以为是显然的,但你只要去了解学生的情况,会发现学生对此解法感到不好接受。主要问题是,解答中的力F是抽象的,并不具体,他们认为这个力是不“实在”的。

学生问题1:在模型中,有很多个离子在电场中加速,每个离子受到的电场力的反作用力都作用在电场上,也即作用在飞行器上,能否从这个角度求出飞行器受到的作用力?(他们感觉到只有每个离子的作用力和反作用力是“实在”的)

讨论解答:教师和学生都认为用这种方法是可以求解的,但主要难点是如何求出任一时刻电场中有多少个离子。

设两极间距离是d,电场是匀强的,E=,每个离子受的电场力F0=2e・E=。接着是要求出任一时刻电场中有多少个离子。离子从一个板运动到另一极的时间是t

飞行器受到所有离子反作用力的总和

结果与上一解法相同。

学生问题2:直接用功率公式P=Fv求解

作用力为前两种解法求出结果的一半,哪种解法错?错在哪里?

讨论:上面解法中把公式P=Fv运用于不断射出的离子。但离子不是匀速的,而是从0加速到v,所以功率公式中的速度应该用平均速度,即应该用P=Fv=F・,如此求出的结果就与前面两解法求出的结果一致了。

讨论到这里,一个学生提出:力学中好象做过一个类似的题,功率直接等于力乘以速度的。

学生问题3力学中学过传送带的问题,传送带以速度v匀速运动,料斗中单位时间内有质量为k的粉状物体落到传送带上,最后与传送带一起运动,要使传送带的速度不变,电动机应增加多少功率?

在力学中的解法:以Δt时间内落到传送带上的粉末为研究对象,用动量定理求出传送带对粉末状物体的总作用力F=kv。发动机应增加功率ΔP=Fv=kv2

按现在的理解,增加的功率应为ΔP=F・=kv2。

讨论:以传送带为研究对象,它以速度v匀速运动,受到一个恒定的摩擦力F作用,增加的功率确实为P=Fv。但以粉末状物体为研究对象,它的速度是从0增加到v的,提供给粉末状物体的功率应该为ΔP'=F・。可见两个结果在于研究对象不同。那么为什么这两者不相等呢?原来粉状物体速度要从0增加到v,与传送带之间存在一个相对位移,由于摩擦会产生热量。计算知道,产生的热量ΔQ与物体获得的动能ΔEk相等,这样发动机增加的功率是提供给粉末状物体的功率的两倍。这样,问题就解决了。

学生问题4 氧离子在电场中加速,氧离子与电场就没有摩擦了吗?如有,离子发动机问题中的答案就应该是另一个了。

讨论解答:产生摩擦的微观图景是相互接触的两物体分子之间的“拉扯”、“碰磕”,使分子无规则运动加剧,机械能转化为内能。带电粒子在电场中运动,不存在这种“拉扯”、“碰磕”,所以不存在摩擦。

学生问题5 直升机的质量为M,螺旋浆使空气以速度v向下运动,使直升机停在空中,发动机的功率应该是多少(不计发动机轴等处的摩擦)?

方法1 螺旋桨作用在空气的作用力F=Mg,把空气以速度v向下推出,功率P=Fv=Mgv

方法2 螺旋桨作用在空气上的作用力为F=Mg,被推出的空气速度从0增加到v,功率应该为P=F・v=Mgv

应该是哪一个结果正确?

讨论:要具体考察螺旋桨是如何使空气加速的。如果螺旋桨是一个理想的“刚体”,通过与空气分子的弹性碰撞使空气加速,在这个过程中能量从螺旋桨传给空气而没有损失,那么第二种答案是正确的。如果是通过螺旋桨叶片与空气的摩擦使空气加速,那么螺旋桨提供的能量一部分转化为空气的动能,一部分转化为内能,答案应该是第一个结果。由于螺旋桨的叶片也是分子组成的,叶片与空气之间的作用不可能如理想刚体与小球(空气分子)的碰撞,一定有一部分能量转化为叶片和空气中分子无规则运动的动能。另外叶片确实是把空气向下“打出”的,并不如传送带使粉末状物体加速一样,所以答案应介于上两者之间,即Mgv