把握数形联系 训练数学思维

【摘 要】 初中数学代数与几何是分章学习的，引入直角坐标知识，就将数与形有机的统一到坐标轴上进行研究了，这一统一不光是代数知识和几何知识建立了联系平台，而且为数学思想的进步与发展提供了条件，是数学研究领域的拓展，在这一统一点上学生的数学思维得到了锻炼和培养。教学时，教师要学生认识到这一点，学生就能在宏观把握数学学习的基础上，做到研究有方向，讨论有目标，学习有信心，思维有发展。

【关键词】 形与数；统一；培养学生；数学思维

初中数学是基础应用数学，提高学生数学水平，不是专门训练学生题目，提高卷面成绩，而是渗透数学思想，训练学生科学的思维方式，和研究问题，探讨问题和解决问题的能力，教学中我从以下几个方面培养学生数学思维的。

一、观察图形，训练学生的整体感知能力

问题是思维的起点，图形是思维的落脚点，平面直角坐标系里，往往都是数与形相互结合的题目。分析这样的题目，准确的绘制图形、正确的观察图形、仔细的分析图形十分重要，如果题目不提供图形，学生要绘制出图形来，这样才能把抽象思维转化为形象思维，使数与形的统一体能较清楚的呈现在学生面前，学生的整体感知能力才能得到较好的训练。

例1：在下列直角坐标系中，（1）请写出在平行四边形ABCD内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；（2）在平行四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率。

分析：（1）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标应在一三象限坐标轴角平分线上；（2）应找完在平行四边形内的所有整数点。

解：（1）看图可知A（-2，2），B（-3，-2），C（2，-2）D（3，2），在其内部横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标有（-1，1），（0，0），（1，-1）。

（2）由图可知：在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个。P= = 。

坐标与图形性质；平行四边形的性质；概率公式是解答本题涉及到的知识点。解决本题的关键是理解横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标在一三象限坐标轴角平分线上，范围是平行四边形内。在运用概率=所求情况数与总情况数之比的关系式求出结果。

二、探寻联系，培养学生的思维迁移能力

从思维定势到思维迁移，是思维发展的一次飞跃，但迁移要有科学合理的路径，这一路径就是找到不同知识间的联系点，否则，迁移就不会达到预想的效果。

例2：图中ABC外接圆的圆心坐标是

。

分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标。

解：设圆心坐标为（x，y）；

依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则有：√（3-x）2+（6-y）2=√（1-x）2+（4-y）2=√（1-x）2+y2；即（3-x）2+（6-y）2=（1-x）2+（4-y）2=（1-x）2+y2，化简后得：x=5，y=2；因此圆心坐标为：（5，2）。

本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式。解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质。这一性质就是三角形与其外接圆的联系点，这一联系点，就是思维发生迁移的启发点，就是解决问题的关键点。

三、深入讨论，体验解决问题的多层面性

知识之间是有联系也是有发展，可以不断深化的，教师应引导学生重点关注，学生能否主动参与探究活动，在讨论中不断深化，不断发现问题，不断研究解决问题的多样途径，也是思维迁移的关键训练。

例3：在研究例2的基础上进一步探讨：请再求：

（1）该圆圆心到弦AC的距离；

（2）以BC为旋转轴，将ABC旋转一周所得几何体的全面

积。（所有表面面积之和）

分析：（1）如图，圆心为P（5，2），作PDAC于D，根据垂径定理知道AD=CD，然后利用图中小正方形可以求出AC，再求出PD，也可直接求出PD；

（2）根据旋转过程可以知道旋转后得到的几何体是一个以2

为底面圆半径、6为高的大圆锥，再挖掉一个以2为底面圆半径、2为高的小圆锥，它们的母线分别是AB，AC，可以利用小正方形求出，圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式就可以求出全面积了。

解：方法1：如图，圆心为P（5，2），作PDAC于D，则AD=CD，连接CP，AC为是为6、宽为2的矩形的对角线，

AC=√62+22=2√10，同理CP=√42+22=2√5，

PD=√CP2-CD2=√10，

方法2：圆心为P（5，2），作PDAC于D，则AD=CD，

由直观，发现点D的坐标为（2，3）

又PD为是为3、宽为1的矩形的对角线，

PD=√32+12=√10 。

（2）旋转后得到的几何体是一个以2为底面圆半径、6为高的大圆锥，再挖掉一个以2为底面圆半径、2为高的小圆锥，又它们的母线之长分别为ι小=√22+22=2√2，ι大=√22+62=2√10，所求的全面积为：πrι大+πrι小=πr（ι大+ι小）=4（√10+√2）π。

学生在上一题的基础上解答本题，教师适当加以引导和提示，第一个问题图形没有变化，只是知识的延伸，引导学生抓住问题的联系点进行分析，在一般情况下，前面问题的解答结果，对后面问题的思考是有启发的。第二个问题是图形发生变化，所求的问题，也由数转化为形研究，学生分组讨论，画图，演示。教师应重点关注，图形由平面到立体的空间联想能力；学生充分体会图形变化过程，及变化后的形体定势。再思考形与数之间的关系。就能找到解决问题的突破口。