例析数列的定义证明

高中数学教材中，对等差、等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数，则这个数列叫等差数列，常数称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数，则这个数列叫等比数列，常数称为等比数列的公比。在涉及用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举些例子加以说明。

例1 ：已知数列前n项和sn=n2+2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

解：n=1时，a1=s1=1+2=3；n≥2时，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，因为n取1时，an=2×1+1=3=a1，所以an=2n+1，因为n≥2时，an-an-1=2为常数，所以{an}为等差数列。

例2：设数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n+4，(n∈N+)。⑴求该数列的通项。⑵证明：数列{an}除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

解：⑴由sn与an的关系，an=s(n=1)s-s-1(n≥2)，当n=1时，a1=s1=12+2×1+4=7. ⑵当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+4)-[(n-1)2+2(n-1)+4]=2n+1，n取1时，an=2×1+1=3≠a1 ，an=7(n=1)2n+1(n≥2)，an+1-an=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2,对于任意n≥2都成立，从而数列a2,a3,a4…是等差数列。

注：由于a2-a1=-2，故an+1-an=2不对任意n∈N成立，因此，数列{an}不是等差数列。

例3：设数列{an}的首项a1=1，前n 项和Sn满足关系3tsn-(2t+3)sn-1=3t，求证{an}为等比数列。

注：因为3tsn-(2t+3)sn-1=3t仅在n≥2时有意义，所以递推公式3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t仅在n≥3时有意义。证明如下：n≥3时，3tsn-(2t+3)sn-1=3t，3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t，两式相减得：3t(sn-sn-1)-(2t+3)(sn-1-sn-2)=0，即：3tan-(2t+3)an-1=0，所以=。（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n=2时，3ts2-(2t+3)s1=3t，即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t，还因为a1=1，所以3t+3ta2-(2t+3)=3t，所以a2=，所以=，所以对任意n≥2都有=为定值，所以{an}为等比数列。

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围。不管是an-an-1、还是an-1-an-2、，或者其他情况，都要考虑定义的完整性，确保任何后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。

（张家港职业教育中心校）