谈微分方程的近似解法

【摘要】微分方程的近似解具有很大的理论意义，而微分方程的解和解的唯一性又是进行近似计算的前提，也是求微分方程近似解的理论基础。对于有初始条件的微分方程可以选用，欧拉方法和逐次逼近的方法来求得微方程近似解。

【关键词】微分方程的近似解；欧拉折线法；逐次逼近法；唯一性定理

中图分类号：O1-0文献标识码A文章编号1006-0278（2013）06-236-01

微分方程理论中最基本的内容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理论意义。但是，由于能求出精确的微分方程为数不多，那么，微分方程近似解法就显得十分重要，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要确定哪一个解却要近似地去确定它，问题也是不明确的，这样一来，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理论基础。下面我就只有已知初始值的问题，对这个问题说明欧拉方法和逐次逼近法的思想，来近似求解微分方程。

欧拉折线法

设在平面上点（x，y）上某个区域D中给定微分方程：

.（1）

且该方程在区域D上定义了一个方向，（1）在D上任取一点（x0，y0），经过这个点作直线L0。（2）在直线L0上任取一点（x1，y1）且使（x1，y1）相当接近于（x0，y0），经过点（x1，y1）作直线L1。（3）在L1上任取一点（x2，y2），且使（x2，y2）相当接近（x1，y1），再作直线L2………….

设x0

我们希望通过（x0，y0）点的每一条欧拉折线，当每一段都很短时，可以作为通过点（x0，y0）的积分曲线L的某种表示，当最长的线段都趋于零时，即每段也都趋于零时，欧拉折线就接近于积分曲线。

当然在这里我们首先必须假定积分曲线存在是唯一的。事实上只要函数f（x，y）在区域D内连续，就可以得出无限序列的欧拉折线，其最长的直线趋近于零。则这个序列就收敛于某个积分曲线L.

但在此时仅是存在，一般说来还不是唯一的。可能存在不同序列的欧拉折线，它们收敛于不同的积分曲线，且均通过同一个点（x0，y0）。

例如：仅含有一个未知数的一阶微分方程.（2）

为使得在区域D中任何点的斜率为f（x，y），必须除掉平行于oy轴的方向，我们研究的曲线只是x的函数图形。因此，如果某一曲线它与垂直于于X轴的另一直线有多于一点的交点，这个函数就不是单值对应，此时，我们把（2）的求解问题加以推广，而考虑：

还有基于其它思想，找寻微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。