渗透数学思想 绽放数学思维

中国科学院士、数学家张景中先生的《感受小学数学思想的力量》一文中指出：“小学生学的数学很初等，很简单. 但尽管简单，里面却蕴涵了一些深刻的数学思想.”作者首先谈到“函数思想”，可见函数思想之重要. 下面，笔者以苏教版的教材为例，试谈函数思想在小学数学教学中的有效渗透.

在不同的知识领域开垦函数

基地

在整个小学阶段的数学学习中，凡是有“变化”的地方就蕴涵着函数思想，它是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具;是我们进行教学设计和教材重组的指导思想，对于培养学生分析问题和解决问题的能力都有极其重要的意义. 在教材的每个领域，只要你细细研磨就会发现，到处都有函数思想的影子.

1. 在“数与代数”中渗透函数思想

在小学数学“数与代数”领域中，运算是主要的内容之一，且各种运算性质中都渗透了函数思想. 低年级主要借助计算表让学生发现加法、减法、乘法口诀中的规律;高年级则让学生自己探索小数乘、除法的运算规律.

如四年级上册第5页第6题：先填表，再在小组里说说你的发现.

教师出示表格，观察被除数和除数，你能发现什么？猜想商会有什么变化？然后，学生进行计算、验证. 最后，引导学生发现并用自己的话口述规律. 虽然这里并不要求学生能用规范的语言叙述商不变的规律，但变与不变的函数思想已以润物细无声的方式悄然渗透.

2. 在“图形与几何”中渗透函数思想

教学完“长方形和正方形的周长与面积计算”以后，可以安排这样一组题：

（1）你能设计周长为18 m的花圃吗？它的面积最大是多少？并填写如下表格，比一比谁的方法多，谁填得有序.

学生经过研究可以得到，长方形的长和宽分别可以为：8和1、7和2、6和3、5和4.

（2）用18个边长为1 cm的正方形拼成长方形，比一比谁的方法多，谁填得有序.（表格略）

学生经过研究得到，长方形的长和宽可分别为18和1、9和2、6和3.

在此基础上引导学生观察、比较这两道习题在解答时有什么不同的地方. 学生经历了真正的探索，于是不难发现：第（1）题是在周长不变的情况下，改变长和宽;第（2）题是在面积不变的情况下，改变长和宽. 第（1）题不变的是长和宽的和，第（2）题不变的是长和宽的积. 教师接着又提出：这两道习题在解答的时候有什么相同的地方？（都是把可能出现的情况一个一个地列举出来，并从宽是1想起. 在列举的过程中，还应注意有序性）解决一道题不是目的，由一道题的解答可以收获一类题的经验才是教师和学生共同的追求. 以上环节中，求异活动有效地渗透了函数思想，求同活动更为学生今后的学习提炼了数学活动的经验. 这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质. 所以，函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念.

3. 在“统计与概率”中渗透函数思想

函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”. 由于统计与概率的内容往往通过表格和图象来描述数据，所以统计与概率中也可以渗透函数思想，如折线统计图就可以渗透函数思想：学生学习了折线统计图后就可以从图中得到丰富的信息，如一天中骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与前一天骆驼的体温有什么关系？……从图象中可以自然地向学生渗透变化的量等函数思想. 教师还可出示骆驼体温随外界温度发生变化的折线统计图，引导学生对比、分析两幅图的相同点、不同点，及其成因，讨论温度变化的周期.

在课堂的不同环节孕育函数

之苗

我们的数学课堂一般分为复习导入、新知教学、练习巩固、总结反思等几个环节，在不同的教学环节，我们都可以适时、适度地渗透函数思想.

1. 丰厚新知教学，体验函数思想

如二年级上册“7的乘法口诀”教学：如图1所示，摆1只小船用7个，摆2只这样的小船要用几个？摆3只、4只……7只呢？

结合教材数帆船中三角形个数的活动，引导学生在数的基础上列出乘法算式，并编制出相应的口诀后――

师：观察这7个算式，你能找一找其中的规律吗？

生1：都是乘7.

师：恩，这是相同的地方，还有吗？

生2：开始是1×7等于7，2×7等于14，3×7就等于21……（未等该生说完，另一生便喊出“越乘越多！”）

师（沉默，故作不解）：怎么会越乘越多呢？

生3：就是积越来越大了.

师（还是故作不解）：为什么积会越来越大呢？

生4（激动地）：就是前面和7乘的数越来越大了啊，比如1×7=7，就是1个7;2×7=14，就是2个7，答案是14;3×7就是有3个7，就是21. 越来越多个7，结果也就越来越大了啊. （其余学生纷纷点头认可）

师（也微笑点头）：明白你的意思了，你结合乘法的意义来解释了这种变化，对吗？还有什么不变吗？

生：乘法算式中的一个乘数总是7，而且得数每次都增加一个7.

函数是研究变量和变量之间关系的重要数学模型，在以上判断中，这些学生感受到了积越来越大是因为前面和7相乘的数越来越大，积随着和7相乘的那个乘数变化而变化，也随着它的确定而确定. 这种对应关系正是函数思想的核心. 7的乘法口诀只是口诀教学中的1个课时，如果在整个乘法口诀的教学过程中，教师既关注口诀，又关注其背后的函数思想，站在函数思想的高度审视教材、设计教学，不仅能使学生乘法口诀的学习之旅更加有趣、更加深刻，也能使学生意识到一切事物都在不断变化，而且相互联系、相互制约，从而主动地去了解事物的变化趋势及其运动规律.

2. 优化课本习题，浸润函数思想

如四年级下册“三角形的内角和”课后习题教学：图2中的三角形都被一张纸遮住了一部分，只看露着的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗？

笔者进行了拓展练习，不仅完成了书本要求，更增添了自主设计不同三角形的环节.

师：知道三角形中已知一个角是锐角，不能确定它是什么三角形（指着图2）. 如果这个角是50°，你能设计出不同的三角形吗？看不见的两个角分别是多少度呢？可以分类设计，大家尝试在表格中填一填.

以上练习中，教师给予学生自主创新设计的空间，启发学生先设计直角三角形，再分别设计钝角三角形和锐角三角形. 学生踊跃交流后，教师不失时机地提问：观察表格，你有什么发现吗？学生发现，如果设计的是直角三角形，另一个锐角的度数是确定的;如果设计的是钝角三角形或锐角三角形，∠2和∠3的大小是变化的，一个角变大了，另一个角就会变小，但是两个角的大小无论怎么变化，它们的度数和始终是130°. 学生在此过程中不仅加深了对“三角形的内角和是180°”这一规律的理解，而且培养了灵活解决问题的能力，更发现了三角形中三个内角的大小变化规律以及内在联系，感受到了确定与不确定现象的本质，函数思想又悄然渗透了.

3. 增设课末反思，回味函数思想

好的课末反思总结，可以使一节课甚至几节课的诸多内容浓缩成“板块”，得以系统概括、深化，以便学生理解;可以使课堂教学结构严密紧凑、融为一体，显现出课堂教学的和谐与完美;还可以提炼方法、总结规律，帮助学生更好地理解数学思想方法.

如三年级下册“除法”单元复习第2题：

369÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇672÷6

360÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇620÷6

306÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷6？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇602÷6

师：学习了这节课，你们有什么收获？

生1：（手指黑板上的习题：369÷3，360÷3，306÷3）我发现除数不变，被除数越大，商也越大.

师（欣喜）：离开了黑板，也许有些小朋友就会忘记这样的规律，你有办法让大家深刻地记住它吗？

生2：我们可以举例，每天都是吃两个鸡蛋，妈妈买的鸡蛋越多，吃的天数就越多.

生3：给我们6个优秀少先队员发奖品，奖品越多，每人发到的就越多.

师：在这道题里，你还能发现什么？

生4：（手指423÷3，423÷4，423÷6）被除数不变，除数越大，商越小.

生5：同样也可以举例记住这样的规律！12粒糖，分给2个人吃和分给3个人吃相比，当然是选分给2人吃，因为每个人分到的糖多.

生6：一本书，看的总页数一定，每天看得越多，需要的天数就越少.

……

师：小朋友们真厉害，举出了发生在小朋友身边的例子，轻松而深刻地记住了这些规律.

函数思想本身比较抽象，如果让学生光凭几道算式记住其中的变化规律，可能比较困难，但以上片段中教师进行了巧妙地引导，让小朋友们想想有什么好办法方便地记住这些规律，大家很快就把枯燥的思想与丰润的生活联系了起来，举出了许多耳濡目染有切身体会的例子.

有了这些来自学生自己生活的实例支撑，学生的理解变得轻松起来. 学生在举例的过程中不仅记住了这些规律，更理解了规律之中所蕴涵的函数思想.

用不同的学习方式绽放函数

之花

1. 在合作交流中体验函数思想的美妙

萧伯纳曾经说过：你有一个苹果，我有一个苹果，交换后还是一个苹果，但如果你有一个思想，我有一个思想，交换后就有两种思想. 合作交流为学生的思维碰撞搭建了平台，学生在互动交流中发展思维、积累思想.

如三年级下册“认识分数”的教学：一堆小棒有12根，分别拿出这堆小棒的和，你还能拿出这堆小棒的几分之一？

经过改编，有以下教学活动――

师：把同桌两人的小棒合起来是多少？（12根）想想你们能拿出这12根小棒的几分之一. 同桌讨论讨论，可以拿笔分一分，也可以在图上画一画，如果能直接填表那是最棒的，不过要比一比谁的方法最多，填写得最有顺序！

收集学生的作业纸，展示两种表格，一种是无序的，一种是有序的.

师：观察这两张表格，你更喜欢哪一张？说说你的理由.

生1：喜欢第2种，因为第2张表格有顺序，这样就不会漏掉，也不会重复.

师：在这样有序的表格中，你能发现什么？

生2：分母越来越大，每份的数量就越来越少.

生3：也就是平均分的份数越多，每份就越少！

师：是啊，在分的总数不变的情况下，分母越大（平均分的份数越多），每份就越少！

以上片段中，教师改编了书本上的习题，作了更高层次的要求：“比一比谁的方法最多，填写得最有顺序”，在教师充满启发的语言诱导下、在合作伙伴的相互启发下，学生能很快地想到解决方法. 教师让学生填表后还别巨匠心地设计了比较活动，看似不经意的比较，却让学生感受到了有序整理的好处――不重复、不遗漏. 在这样的表格中，学生能很快发现其中隐藏的平均分的份数与每份数的变化规律.

2. 在动手操作中领略函数思想的神奇

儿童的指挥凝结在手指尖上，动手操作能调动学生的多种感官参与学习，能使学生积累一定的操作经验、思维经验，并有效促进函数思想的渗透.

如三年级上册“长方形和正方形的特征”的练习教学：先自己拼一拼，再与同桌交流一下. （1）用6个一样的小正方形，拼成一个长方形. （2）用16个一样的小正方形，拼成一个大正方形. 用16个小正方形能拼成不同的长方形吗？

笔者改编为四人小组合作，用12个小正方形拼出大长方形，并记录拼成的大长方形的长和宽. 通过这一动手操作活动，不仅及时巩固了刚刚学习的长方形与正方形的特征，使学生发现由12个小正方形能拼成的不同的长方形，而且培养了学生思维的发散性. 观察表格时发现，长和宽的乘积不变，长越大，宽就越小，这为今后学习长方形的面积计算奠定了基础.

3. 在自主探究中欣赏函数思想的魅力

瑞士心理学家皮亚杰认为：儿童学习的最根本途径应该是活动，活动是联系主、客体的桥梁，是认识发展的直接源泉. 根据心理特点，放手让学生在动手、动口、动脑的协调之中进行自主探求知识的活动，可发展学生的认知结构. 自主探究也是实现函数思想渗透的学习方法之一.

如二年级下册“百数表”的教学，除了放手让学生自主探究百数表中数的排列规律（横着、竖着、斜着）外，还可以引导学生进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律蕴涵着多种变化.

数学知识无需终生铭记，但数学精神会激励终生;解题技能无需终生掌握，但数学思想会受用终生. 我们的国标本苏教版教材中并不缺乏函数思想，只是缺乏发现函数思想的眼睛. 作为教师的我们，必须认真研读教材，剥离出教材各领域知识背后隐藏的函数思想，并根据学生的年龄特征，融合多种适合的学习方式，在课堂教学的每个阶段有效渗透数学思想，绽放学生的数学思维！