模糊关系的推广

时间:2022-05-20 05:48:38

模糊关系的推广

摘 要:本文通过文献[4]构造出了一种新的模糊关系,并在此模糊关系下定义了模糊格、模糊子格的概念,给出了刻画模糊格的等价条件,以及给出一些相关命题,这对深入研究模糊格的本质,有着重要的理论意义。

关键词:格;模糊关系;模糊格;理想

1 预备知识

在本节,我们将简单回顾一些有关格的基本概念(参照文献1,3,4),以及本文将要涉及到的格上的理想与滤子、半理想与半滤子等概念。

定义1.1[2]设P是一个集合,?燮是P上的一个关系,如果满足:

(i)x?燮x

(ii)x?燮y且y?燮x,则x=y

(iii)x?燮y且y?燮z,则z?燮z

则称序偶(P,?燮)为偏序集。

定义1.2[2]设(P,?燮)为非空偏序集。

(i)如果对于?坌x,y∈P,有sup{x,y}与inf{x,y}存在,则称(P,?燮)为格。

(ii)如果对于?坌S?哿P,有supS与infS存在,则序偶(P,?燮)被称为完备格。

接下来,我们介绍两个算子∨(join)与∧(meet)。设L=(L,?燮)是格,在L上定义两种算子:x∨y=sup{x,y}与x∧y=inf{x,y}。

命题1.1[2]设L是一个格,对于x,y∈L。则下列条件等价:

(i)x?燮y

(ii)x∨y=y

(iii)x∧y=x

一般地,当我们要强调格是一种特殊的偏序集或是一种代数结构时,就把格L表示成“(L,?燮)”或者“(L,∨,∧)”。

当把格(L,∨,∧)看作代数结构时,自然而然我们就想到它是否有最大元与最小元。

定义1.3[2]假设L是一个格,如果存在1∈L,使得对于?坌x∈L,有x=x∧1,则称1为格L的最大元。对偶的,如果存在0∈L,使得对于?坌x∈L,有x=x∨0,则称0为格L的最小元。

定义1.4[2]L上的非空子集I称为L上的理想,如果对于?坌x,y∈L满足下列条件:

(i)如果y∈I当x?燮y时,则x∈I。

(ii)如果x,y∈I,则x∨y∈I。

2 模糊格

在本节,我们将介绍模糊格的概念。

设X、Y为非空集合,x∈y,y∈Y。一个模糊关系A是从笛卡尔积X×Y到。如果A是X=Y,我们称A是X的一个双模糊关系。

定义2.1 假设X是一个非空集合,x,y,z∈X,A是X上的双模糊关系。

(i)如果对于?坌x∈X,有A(x,y)=1,则称关系A满足自反性。

(ii)如果对于?坌x,y∈A有A(x,y)=A(y,x),则称关系A满足对称性。

当模糊关系A满足自反性,对称性,传递性时,称模糊关系A:X×Y为模糊等价关系。

当模糊关系A满足自反性,反对称性,传递性时,对模糊关系A是为模糊偏序关系,并称序偶(X,A)为模糊偏序集。

注:当A:X×Y[0,1]时,为文献[4]所定义,本文所讨论的模糊关系在文献[4]的基础上得以推广。

定理2.1 当A满足自反性的前提下,其传递性中的“≥”可以改为“=”,即?坌x,y,z∈X有A(x,z)=[A(x,y),A(y,z)]。

证明:根据传递性有对于?坌x,y,z∈X,有

命题2.1设(X,A)为模糊偏序集,A(x,y)>0且A(y,z)>0,则A(x,z)>0。

证明:显然。

参考文献:

[1]L.A.Zadeh,Fuzzy sets,Inform.and Control 8(1965),338-353.

[2]B.A.Davey,H.A.Priestley Introduction to Lattices and order [M].Cambridge University Press; 2nd Revised edition,2002.

[3]N.Ajmal and K.V.Thomas,Fuzzy lattices,Information sciences 79(1994),271-291.

[4]I.MEZZOMO,B.C.BEDREGAL,R.H.N.SANTIAGO,of fuzzy lattices,Department of Informatics and Applied Mathematics-DIMAp,Federal University of Rio Grande do Norte-UFRN Natal-Rio Grande do Norte,Brazil 59.072-970.2013.

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